Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 381
Claramente ak es de clase C 1 en su dominio y además no se anula, pues la
derivada es positiva en [0, 1/k]. Definimos las funciones
Vk(x) =
Ω
f(y)
ak(x − y) dm(y).
La función ak(x − y) −1 es de clase C 1 en R n × R n , por lo que podemos
aplicar el teorema 7.23.
Si probamos que las funciones Vk convergen uniformemente a Vf y sus derivadas
convergen al segundo miembro de (10.5), el teorema 3.28 nos dará que
dicha igualdad es válida en todo punto.
Puesto que los integrandos de Vf (x) yVk(x) difieren sólo sobre B 1/k(x),
tenemos que
|Vf (x) − Vk(x)| ≤ M
= M
B 1/k(x)
B 1/k(0)
1
1
−
x − yn−2 ak(x − y) dm(y)
1 1
−
yn−2 ak(y) dm(y).
La última integral, como función del dominio de integración, es una medida
finita en B1(0) por el teorema 7.17, luego el último miembro tiende a 0
con k, por el teorema 7.2. Esto prueba la convergencia uniforme de Vk. El
mismo argumento vale para las derivadas. Observar que no es necesario calcular
explícitamente la derivada del integrando de Vk. Basta tener en cuenta que
consta de f(y) multiplicada por una función continua, luego integrable.
Notemos que las derivadas de Vf en los puntos de Ω son el límite uniforme
de una sucesión de funciones continuas (las derivadas de Vk), luego Vf es una
función de clase C 1 en R n .
En particular tenemos que el campo y el potencial gravitatorio determinados
por una distribución de masa ρ están bien definidos y satisfacen la relación
E = −∇V , como ha de ser.
Sigamos en el caso general y vamos a calcular el laplaciano de Vf . El teorema
7.23 nos permite concluir directamente que Vf es de clase C ∞ en R n \ Ω. Más
aún, es fácil comprobar que ∆xg = 0, con lo que también ∆Vf = 0. Para
los puntos de Ω no podemos emplear la misma técnica que hemos usado para
calcular las primeras parciales, pues las derivadas segundas del integrando no
son integrables.
Consideremos un punto x0 ∈ Ω tal que f es de clase C 1 en una bola
B2ɛ(x0) ⊂ Ω.
Descomponemos Vf = V1 + V2, donde ambos sumandos tienen la misma
definición que Vf salvo que el dominio de integración es Bɛ(x0) en el caso de V1
y Ω \ Bɛ(x0) en el caso de V2.
Es claro que V2 es de clase C 2 en Bɛ(x0). Sus parciales segundas se pueden
calcular derivando el integrando. Además ∆V2 = 0. Por lo tanto para probar