Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

8.3. Medidas signadas 299
8.3 Medidas signadas
Para enunciar más adecuadamente los próximos resultados conviene que modifiquemos
nuestra definición de medida o, con más exactitud, que introduzcamos
otro tipo de medidas distintas de las medidas positivas. Aunque pronto
veremos la utilidad del nuevo concepto desde un punto de vista puramente matemático,
quizá ahora sea más conveniente motivarlo mediante un ejemplo físico:
la función que a cada región del espacio le asigna la cantidad de materia que
contiene es un ejemplo de medida positiva (que podemos suponer finita), sin
embargo, la aplicación que a cada región del espacio le asigna la carga eléctrica
que contiene ya no se ajusta a nuestra definición de medida, porque puede tomar
valores negativos, y pese a ello puede tratarse de forma muy similar.
Definición 8.20 Sea A una σ-álgebra en un conjunto X. Una medida signada
(finita) en A es una aplicación µ : A −→ R tal que µ(∅) =0ysi{En} ∞ n=1 es
una familia de conjuntos de A disjuntos dos a dos entonces
∞
∞
µ = µ(En).
n=1
En
Observar que en la definición está implícita la hipótesis de que las series
de medidas de conjuntos disjuntos son convergentes (en el caso de las medidas
positivas donde admitíamos el valor +∞ esto era evidente). Más aún, la serie
ha de converger absolutamente. En efecto, la serie (finita o infinita) formada
por los términos correspondientes a los conjuntos En con medida negativa ha
de converger a la medida de su unión, y obviamente la serie de los valores
absolutos converge al valor absoluto de la suma, es decir, los términos negativos
convergen absolutamente. Lo mismo vale para los términos positivos, luego la
serie completa también converge absolutamente.
Conviene saber que toda la teoría que vamos a exponer sobre medidas signadas
se generaliza con cambios mínimos a medidas con valores complejos, pero
no vamos a necesitar nada al respecto. Con esta definición, la medidas signadas
sobre una σ-álgebra fija en un conjunto X forman un espacio vectorial real con
las operaciones dadas por
n=1
(µ + ν)(E) =µ(E)+ν(E), (αµ)(E) =αµ(E).
En particular, las medidas signadas de Borel en un espacio topológico X
forman un espacio vectorial real.
Ejemplo Sea X un espacio topológico y x ∈ X. Definimos la delta de Dirac
de soporte x como la medida de Borel dada por
1
δx(E) =
0
si x ∈ E
si x/∈ E .
Claramente se trata de una medida signada positiva. Si una región del
espacio está ocupada por partículas puntuales en las posiciones x1,...,xn con