Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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252 Capítulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias tienen solución en ɛ>0, k para todos los valores de ρ0, θ0, ρ ′ 0, ω0, pero sustituyendo L = mρ2 0ω0 estas ecuaciones equivalen a ɛ cos(θ0 + k), sen(θ0 + k) 3 ρ = 0ω2 0 GM − 1, ρ′ 0ρ2 0ω2 0 , GM que obviamente tienen solución. Con esto hemos probado que las trayectorias de los objetos sometidos a la atracción de una masa fija puntual son rectas o secciones cónicas. Ejemplo Sea S una variedad diferenciable, sea p ∈ S y w ∈ Tp(S) un vector unitario. Sea X una carta alrededor de p, p = X(x0) yw = dX(x ′ 0). Entonces existe una única curva x(t) que verifica las ecuaciones (5.10) del capítulo anterior con las condiciones iniciales x(0) = x0, x ′ (0) = x ′ 0. La curva g(t) =X x(t) es una geodésica de S parametrizada por el arco tal que g(0) = p y g ′ (0) = w. Recíprocamente, la representación en la carta de cualquier geodésica que cumpla esto ha de ser solución de las ecuaciones (5.10), luego g es única (salvo cambio de parámetro). En resumen: En una variedad, por cada punto pasa una única geodésica en cada dirección. Por ejemplo, en el capítulo anterior probamos que los círculos máximos son geodésicas de la esfera. Puesto que por cada punto y en cada dirección pasa un círculo máximo, concluimos que los círculos máximos son las únicas geodésicas de la esfera. *Ejemplo En el capítulo anterior demostramos que las rectas elípticas e hiperbólicas son geodésicas de los planos elíptico e hiperbólico. Puesto que por cada punto y en cada dirección pasa una única recta, ahora podemos concluir que las rectas son las únicas geodésicas.
Capítulo VII Teoría de la medida Pensemos en el concepto de área de una figura plana F . Una primera aproximación consiste en definir dicha área µ(F ) como el número de veces que F contiene al cuadrado de lado unidad, pero esta definición sólo es aplicable si F es unión de un número finito de cuadrados unitarios. Por ejemplo, si F es un rectángulo de lados m y n (naturales) entonces µ(F )=mn. Si F es un rectángulo de lados racionales r = p/q y r ′ = p ′ /q ′ ,esfácil concluir que el área del rectángulo de lados p y q ha de ser qq ′ veces el área de F , de donde µ(F )=rr ′ . Si F es un rectángulo de lados arbitrarios α y β, ya no podemos compararlo directamente con cuadrados unitarios y hemos de recurrir a un argumento de continuidad: si r
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