Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

402 Capítulo 11. Cohomología de De Rham
de todas las formas en S, no necesariamente diferenciables. Una comprobación
rutinaria nos da que si ω1 ∈ Λ k (S), ω2 ∈ Λ(S), entonces 1
i(V )(ω1 ∧ ω2) =i(V )(ω1) ∧ ω2 +(−1) k ω1 ∧ i(V )(ω2).
Las aplicaciones lineales que cumplen esta relación se llaman antiderivaciones.
Otro ejemplo de antiderivación es la diferencial exterior.
Para probar que i(V )(ω) es diferenciable en un punto p tomamos una carta
X alrededor de p. SiW es el rango de X, notamos que i(V |W )(ω|W ) coincide con
i(V )(ω)|W , luego basta probar que la primera es diferenciable. Ahora bien, una
forma en W se expresa en función del producto exterior a partir de 0-formas y
las diferenciales de las coordenadas dxi y al ser una antiderivación i(V |W )(ω|W )
quedará en función de las imágenes por i(V |W ) de estas formas en particular,
luego basta ver que i(V |W )(dxi) es diferenciable (para las 0-formas es obvio,
porque la imagen es nula). Ahora bien,
i(V |W )(dxi)(p) =dxi(p)(V (p)) = Vi(p),
donde V (X(x)) = n
Vi(X(x)) DiX(x). El teorema de la función implícita
i=1
justifica que las funciones X ◦ Vi son diferenciables (luego las Vi también).
La antiderivación i(V ) se llama evaluación en V .
En particular, en un cilindro R × S podemos considerar el campo constante
igual a e1. SiSse puede cubrir con una sola carta X y llamamos (t, x1,...,xn)
a las coordenadas del cilindro, tenemos que i(e1)(dt) =1,i(e1)(dxi) = 0. Estas
relaciones determinan a i(e1). Concretamente:
i(e1)(f dt∧dxi1 ∧···∧dxik )=fdxi1∧···∧dxik ,
i(e1)(f dxi1 ∧···∧dxik )=0.
Las inclusiones Consideremos ahora las inclusiones jt : S −→ R × S dadas
por jt(p) =(t, p). Obviamente son diferenciables, por lo que tienen asociadas
las retracciones j ♯
t :Λ(R × S) −→ Λ(S), que son homomorfismos de grado 0. Si
S se puede cubrir por una sola carta tenemos
j ♯
t (f) =jt ◦ f, j ♯
t (dt) =0, j ♯
t (dxi) =dxi,
con lo que quedan completamente determinadas.
1 En la definición de ω1 ∧ ω2 separamos los sumandos correspondientes a las permutaciones
que dejan a V (p) entre las k primeras componentes y las que lo dejan entre las siguientes. En
el primer sumando sustituimos cada permutación σ por permutación ¯σ que resulta de llevar
V (p) a la primera posición. El cambio de signo que sufre ω se compensa con el cambio de
signatura de σ a¯σ. Así tenemos una suma sobre las permutaciones ¯σ tales que ¯σ(1) = 1.
Identificándolas con las permutaciones de k + k ′ − 1 elementos obtenemos i(V )(ω1)(p) ∧ ω2(p).
Con el segundo sumando razonamos igual, salvo que llevamos V (p) a la posición k +1. Ahora,
al pasar de las permutaciones que cumplen ¯σ(1) = k + 1 a la permutación correspondiente de
k + k ′ − 1 elementos la signatura varía en (−1) k .