Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

44 Capítulo 1. Topología
distintas, pero para nosotros serán la misma sucesión, la sucesión de los números
naturales.
Por simplicidad, en teoría hablaremos siempre de sucesiones {an} ∞ n=0, aunque
en la práctica comenzaremos a partir del índice que más convenga.
La razón por la que estas diferencias no nos van a afectar es que sólo nos van
a interesar las propiedades finales de las sucesiones. Diremos que una sucesión
{an} ∞ n=0 cumple finalmente una propiedad si existe un n0 ∈ N tal que an cumple
la propiedad para todo n ≥ n0.
Por ejemplo, una sucesión es constante si todos sus términos son iguales a
un cierto elemento x. Una sucesión es finalmente constante si es constante a
partir de un término. La sucesión siguiente es finalmente igual a 5:
3, 1, −2, 8, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ...
Una subsucesión de {an} ∞ n=0 es una sucesión de la forma {ank }∞ k=0 , donde
{nk} ∞ k=0 es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, es decir,
si k