Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.5. Las fórmulas de Green 385
la densidad de calor de un cuerpo de calor específico c, densidad ρ y temperatura
T . Podemos suponer que c y ρ sólo dependen de la posición, mientras que Q
y T dependerán también del tiempo, y se plantea el problema de determinar
esta dependencia, esto es, de determinar la forma en que se transmite el calor a
través de un cuerpo.
El modelo más simple al respecto postula que el calor es como un fluido
que se mueve hacia el punto más frío posible, es decir, teniendo en cuenta el
ejemplo en el que hemos introducido la ecuación de continuidad así como la
interpretación del gradiente: A = −k∇T , donde k>0 es una constante. La
ecuación de continuidad (10.4) se convierte en este caso en
k∆T + ψ = cρ ∂T
∂t ,
donde ψ refleja las fuentes y sumideros de calor. Esta ecuación se conoce como
ecuación del calor.
10.5 Las fórmulas de Green
Vamos a deducir varias fórmulas clásicas a partir del teorema de Stokes.
Partimos de dos funciones f,g : U −→ R de clase C 2 en un abierto U ⊂ R n .
Una simple comprobación nos da la identidad
div(g∇f) =∇f ∇g + g∆f.
Sea V ⊂ U una variedad compacta orientable de dimensión n contenida en U.
Aplicando el teorema de la divergencia obtenemos la llamada primera fórmula
de Green:
g∆f dm+ ∇g ∇f dm= g
V
V
∂V
df
dn dσ,
donde dσ es el elemento de medida en ∂V y n su vector normal. Intercambiando
los papeles de f y g y restando las fórmulas correspondientes obtenemos la
segunda fórmula de Green:
(g∆f − f∆g) dm = g df
dg
− f dσ.
dn dn
V
Supongamos n ≥ 3, fijemos un punto x interior a V y apliquemos la fórmula
anterior a la función g(y) =1/x − y n−2 y a la variedad Vɛ que resulta de
quitarle a V una bola abierta de radio ɛ suficientemente pequeño para que esté
contenida en V . Observamos que ∆g = 0. En efecto:
∂g
∂yi
=(n− 2) xi − yi
,
x − yn ∂g 2
∂y 2 i
∂V
n − 1
= −
x − yn + n(n − 2)(xi − yi) 2
,
x − yn+2 y al sumar sobre i queda 0. Si llamamos Sɛ a la esfera de centro x y radio ɛ la
fórmula de Green nos da que