Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

404 Capítulo 11. Cohomología de De Rham
Ahora probamos una igualdad que relaciona todas las funciones que acabamos
de introducir y a partir de la cual se deducirá fácilmente el resultado que
queremos probar sobre homotopías. Veamos que
j ♯
b − j♯ a = d ◦ i(e1) ◦ I b a + i(e1) ◦ I b a ◦ d. (11.1)
Puesto que el operador integral conmuta con la diferencial, podemos escribir
el segundo miembro como (d ◦ i(e1)+i(e1) ◦ d) ◦ Ib a. Por el argumento habitual
podemos restringirnos al rango de una carta y trabajar con una forma
ω = fdxi1∧···∧dxik .
A su vez hemos de distinguir si aparece dt o no. Si no aparece tenemos que
d(i(e1)(ω)) = 0 y
i(e1)(dω) = ∂f
dxi1 ∧···∧dxik .
∂t
Al aplicar I b a obtenemos
b
∂f
∂t dt
dxi1 ∧···∧dxik =(jb◦f − fa ◦ f)dxi1 ∧···∧dxik
a
luego
y
Supongamos ahora que ω = fdt∧dxi2 ∧···∧dxik . Entonces
dω = − ∂f
dt ∧ dxi ∧ dxi2 ∧···∧dxik
∂xi
,
i=ij
i(e1)(dω) =− ∂f
dxi ∧ dxi2 ∧···∧dxik
∂xi
i=ij
i=ij
d(i(e1)(ω)) = ∂f
dxi ∧ dxi2 ∧···∧dxik
∂xi
= j♯
b (ω) − j♯ a(ω).
+ ∂f
∂t dt ∧ dxi2 ∧···∧dxik .
Al sumar estos dos términos nos queda sólo el último sumando de la última
igualdad y, como tiene dt, al aplicar I b a queda la forma nula. Así mismo es claro
que j ♯
b (ω) − j♯ a(ω) =0.
Ahora conviene introducir el concepto siguiente:
Definición 11.6 Sean φ, ψ : C −→ C ′ homomorfismos de complejos inversos.
Diremos que son homotópicos si existe un homomorfismo h : C −→ C ′ de grado
−1 tal que φ − ψ = h∂ ′ + ∂h. Equivalentemente, tal que
φ k − ψ k = ∂ k h k+1 + h k ∂ k−1 .
En tal caso diremos que h es una homotopía 2 entre φ y ψ.
2 Las homotopías entre homomorfismos de complejos directos tienen grado 1