Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.1. Variedades 201
(con lo que (x, y) debería tener dos imágenes) y puntos (x, y) con x 2 + y 2 >r 2
para los que no existe ningún z tal que (x, y, z) ∈ U. Sin embargo, alrededor de
este punto la esfera es la gráfica de la función x = r 2 − y 2 − z 2 .
El mismo argumento prueba en general que la esfera de dimensión n
es una variedad diferenciable.
S n = {x ∈ R n+1 |x 2 2 =1}
Ejemplo: superficies de revolución Sea C una variedad diferenciable de
dimensión 1 en R 2 . Supongamos que todos sus puntos (x, z) cumplen x>0.
Llamaremos superficie de revolución generada por C al conjunto
S = (x, y, z) ∈ R 3 | x 2 + y 2 ,z ∈ C .
El conjunto S está formado por todos los puntos que resultan de girar alrededor
del eje Z los puntos de C. Vamos a ver que se trata de una variedad
diferenciable de dimensión 2.
Tomemos (x0,y0,z0) ∈ S y¯x0 = x 2 0 + y2 0 . Entonces (¯x0,z0) ∈ C. Sea
α(u) = r(u),z(u) una carta de C alrededor de este punto, digamos r(u0) =¯x0,
z(u0) =z0. Por definición existe un entorno V0 de u0 y un entorno U0 de (¯x0,z0)
de modo que C ∩ U0 = α[V0]. Sea
X(u, v) = r(u) cos v, r(u) sen v, z(u) , (u, v) ∈ V0 × R.
Claramente X es diferenciable (de la misma clase que α) y su matriz jacobiana
es
′ ′ ′ r (u) cos v r (u) sen v z (u)
JX(u, v) =
.
−r(u) sen v r(u) cos v 0
El menor formado por las dos primeras columnas es r(u)r ′ (u). Por hipótesis
r no se anula y, por ser α una carta, su matriz jacobiana (r ′ ,z ′ ) no puede ser
nula tampoco, luego si r ′ (u) = 0, entonces z ′ (u) = 0, luego uno de los menores
r(u)z ′ (u) sen v o −r(u)z ′ (u) cos v es no nulo. En cualquier caso el rango de JX
es 2.
Es claro que existe un v0 ∈ R tal que X(u0,v0) =(x0,y0,z0). La aplicación
X no es inyectiva, pero sí lo es su restricción a V = V0×]v0 − π, v0 + π[. Veamos
que es una carta para el punto dado. Sea
U = {(x cos v, x sen v, z) | (x, z) ∈ U0, |v − v0|