Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

310 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Veamos que es medible usando para ello el teorema 7.7. Sea E la antiimagen
por Mµ de un intervalo ]t, +∞], es decir, E = {x ∈ X | Mµ(x) >t}. Veamos
que es abierto. Dado x ∈ E, existe un r>0 tal que u = Cr|µ|(x) >t, luego
µ(Br(x)) = um(Br(x)). Tomemos δ > 0 tal que (r + δ) n 0, entonces
m {x ∈ R n | Mµ(x) >t} ≤ 3n
t |µ|(Rn ).
Demostración: Sea K un subconjunto compacto del abierto que aparece
en el miembro izquierdo. Cada x ∈ K es el centro de una bola abierta B tal
que |µ|(B) >tm(B).
Estas bolas forman un cubrimiento de K, del cual podemos extraer un subcubrimiento
finito al que a su vez podemos aplicar el teorema anterior, digamos
{B1,...,Bk} de modo que
m(K) ≤ 3 n
n
i=1
m(Bi) ≤ 3n
t
n
i=1
|µ|(Bi) ≤ 3n
t |µ|(Rn ).