Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

18 Capítulo 1. Topología
Un punto x ∈ A es aislado si y sólo si tiene un entorno U tal que U ∩A = {x}.
El entorno lo podemos tomar abierto, y entonces vemos que los puntos aislados
de A son los puntos que son abiertos en la topología relativa. Vemos, pues, que
un espacio es discreto si y sólo si todos sus puntos son aislados. Es el caso del
ejemplo anterior.
Definición 1.37 Un subconjunto A de un espacio topológico X es denso si
A = X.
Aplicando la propiedad h) de 1.33 vemos que A es denso en X si y sólo si
X \ A tiene interior vacío, es decir, si y sólo si todo abierto de X corta a A.
Esto significa que los puntos de A están “en todas partes”. Por ejemplo, puesto
que todo intervalo de números reales contiene números racionales e irracionales,
es claro que Q y R \ Q son densos en R. De aquí se sigue fácilmente que Q n y
(R \ Q) n son densos en R n .
Ejercicio: Probar que si A es abierto en un espacio X y D es denso en X entonces
A ∩ D es denso en A.
Hay una propiedad que no cumplen todos los espacios topológicos, pero sí
la práctica totalidad de espacios de interés.
Definición 1.38 Diremos que un espacio topológico X es un espacio de Hausdorff
si para todo par de puntos distintos x, y ∈ X existen abiertos disjuntos U
y V tales que x ∈ U, y ∈ V (se dice que los abiertos U y V separan a x e y).
Por ejemplo, si en un conjunto X con más de un punto consideramos la
topología formada únicamente por los abiertos ∅ y X (topología trivial) obtenemos
un espacio que no es de Hausdorff. Se trata de un espacio patológico
donde todo punto está alrededor de cualquier otro. Aunque la topología trivial
es ciertamente la más patológica posible, lo cierto es que todas las topologías
no de Hausdorff comparten con ella su patología, y rara vez resultan de interés.
Veamos las propiedades de los espacios de Hausdorff:
Teorema 1.39 Se cumplen las propiedades siguientes:
a) En un espacio de Hausdorff, todo conjunto finito es cerrado.
b) Todo espacio de Hausdorff finito es discreto.
c) Todo subespacio de un espacio de Hausdorff es un espacio de Hausdorff.
d) El producto de una familia de espacios de Hausdorff es un espacio de
Hausdorff.
e) Todo espacio métrico es un espacio de Hausdorff.
f) Un espacio X es de Hausdorff si y sólo si la diagonal ∆={(x, x) | x ∈ X}
es cerrada en X × X.