Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

206 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
en el sentido que ya teníamos definido si y sólo si lo es considerando a U ya
Rm como variedades diferenciables (con la identidad como carta).
Por el teorema 5.4, si S ⊂ T ⊂ Rm son variedades diferenciables, la inclusión
i : S −→ T es diferenciable, lo que se traduce en que las restricciones a S de las
funciones diferenciables en T son funciones diferenciables en S.
Es claro que todas estas propiedades valen también si sustituimos la diferenciabilidad
por la propiedad de ser de clase Cq .
Una aplicación f : S −→ T entre dos variedades es un difeomorfismo si
es biyectiva, diferenciable y su inversa es diferenciable. Dos variedades son
difeomorfas si existe un difeomorfismo entre ellas.
Es obvio que las cartas de una variedad son difeomorfismos en su imagen.
Más aún:
Teorema 5.12 Todo difeomorfismo entre un abierto de R n y un abierto de una
variedad S en R m es una carta para S.
Demostración: Sea f : U −→ W un difeomorfismo, donde W ⊂ S es
abierto en S. Entonces existe un abierto V en R m tal que f[U] =W = V ∩ S.
Obviamente df tiene rango máximo en cada punto, con lo que se cumple la
definición de carta.
En particular tenemos que las coordenadas xi : S ∩ V −→ R asociadas a
una carta X son funciones diferenciables (son la composición de X −1 con las
proyecciones πi : R n −→ R). Ahora definimos la diferencial de una función
diferenciable.
Supongamos que f : S −→ T es una aplicación entre dos variedades diferenciable
en un punto p. Sean X : U −→ S e Y : W −→ T cartas alrededor de
p y f(p). Digamos que U(x) =p, Y (y) =f(p). Entonces j = X ◦ f ◦ Y −1 es
diferenciable en x y tenemos las aplicaciones lineales siguientes:
Tp(S)
⏐
dX(x) ⏐
Tf(p)(T )
⏐
⏐dY (y)
Rn dj(x)
−−−−−−→ Rm Las flechas verticales representan isomorfismos, luego podemos definir la
diferencial de f en p como la aplicación lineal df (p) :Tp(S) −→ T f(p)(T ) dada
por df (p) =dX(x) −1 ◦ dj(x) ◦ dY (y). Teniendo en cuenta que las diferenciales
aproximan localmente a las funciones correspondientes no es difícil convencerse
de que df (p) se confunde con f cuando los puntos de Tp(S) se confunden con
los de S. El teorema siguiente prueba que df (p) no depende de la elección de
las cartas X e Y .
Teorema 5.13 Sea f : S −→ T una aplicación diferenciable en un punto p ∈ S.
Sea v ∈ Tp(S). Si α es cualquier curva contenida en S que pase por p con
tangente v, entonces α ◦ f es una curva contenida en T que pasa por f(p) con
tangente df (p)(v).