Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

224 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
en este punto, luego el teorema 4.15 afirma que sus derivadas parciales han de
anularse en él. Así pues, se ha de cumplir
∂κn
∂du
∂κn
∂dv
2(edu+ fdv)
=
F 1 (du, dv)
2(f du+ gdv)
=
F 1 (du, dv)
Despejando obtenemos
− 2(Edu+ Fdv)
F 1 (du, dv) 2
− 2(F du+ Gdv)
F 1 (du, dv) 2
F 2 (du, dv) =0,
F 2 (du, dv) =0.
κn = F 2 (du, dv)
F 1 edu+ fdv
= ,
(du, dv) Edu+ Fdv
(5.12)
κn = F 2 (du, dv)
F 1 fdu+ gdv
=
(du, dv) Fdu+ Gdv .
Al igualar ambas ecuaciones obtenemos una condición necesaria para que un
vector indique una dirección principal. Es fácil ver que puede expresarse en la
forma:
=0.
dv 2 −dudv du 2
E F G
e f g
Si (E,F,G) (en un punto) es múltiplo de (e, f, g) entonces la ecuación se
cumple trivialmente, pero por otra parte es claro que la curvatura normal es
constante y no hay direcciones principales. En caso contrario es claro tenemos
una forma cuadrática con al menos dos coeficientes no nulos. Si suponemos,
por ejemplo, que el coeficiente de dv 2 es no nulo, entonces du = 0, y al dividir
entre du 2 la forma cuadrática se convierte en una ecuación de segundo grado
en la razón dv/du. Esta ecuación tiene a lo sumo dos soluciones linealmente
independientes, luego éstas han de ser necesariamente las direcciones principales.
Por consiguiente la ecuación caracteriza dichas direcciones.
Definición 5.27 Se llama curvatura media y curvatura total o de Gauss de una
superficie S en un punto p a los números
H = λ1 + λ2
, K = λ1λ2.
2
Notemos que el signo de H depende de la carta, mientras que el de K es
invariante. Si operamos en (5.12) obtenemos
(e − Eκn)du +(f − Fκn)dv = 0,
(f − Fκn)du +(g − Gκn)dv = 0.
Puesto que el sistema tiene una solución no trivial en (du, dv) sehade
cumplir
e − Eκn
f − Fκn
f − Fκn
g − Gκn
=0,