Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.8. Las funciones trigonométricas 139
Por ejemplo, si y = arcsen x, entonces x = sen y, luego dx
dy = cos y, luego
dy 1
=
dx cos y =
1
1 − sen 2 y =
1
√ 1 − x 2 .
Vamos a calcular la serie de Taylor de la función arco tangente. No podemos
calcular directamente las derivadas, pues las expresiones que se obtienen son
cada vez más complicadas y no permiten obtener una fórmula general. En su
lugar emplearemos la misma técnica que hemos usado en la sección anterior
para calcular la serie del logaritmo. Claramente
1 1
=
1+x2 1 − (−x2 ) =
∞
(−1) n x 2n , para |x| < 1.
n=0
Ahora es fácil obtener una serie cuya derivada sea la serie anterior, a saber:
∞
n=0
(−1) n
2n +1 x2n+1 .
Es fácil ver que su radio de convergencia es 1.
Por lo tanto esta serie se diferencia en una constante de la función arctan x
en el intervalo ]−1, 1[, pero como ambas funciones toman el valor 0 en x =0,
concluimos que son iguales, o sea:
arctan x =
∞
n=0
(−1) n
2n +1 x2n+1 , para |x| < 1.
Cuando x = ±1 la serie se convierte en una serie alternada cuyo término
general es decreciente y tiende a 0, luego por el criterio de Leibniz también
converge. No vamos a demostrarlo aquí (verlapág. 237), pero el límite resulta
ser arctan(±1). Puesto que arctan 1 = π/4, esto nos lleva a la conocida fórmula
de Leibniz para el cálculo de π:
π =4 1 − 1
1 1 1 1
+ − + − + ··· .
3 5 7 9 11
Esta fórmula converge muy lentamente a π, en el sentido de que es necesario
calcular muchos términos para obtener pocas cifras exactas. Hay otras expresiones
más complicadas pero más eficientes. Veamos una de ellas. Es fácil probar
la fórmula de la tangente del ángulo doble:
De aquí se sigue que
tan 2 arctan 1
5
tan 2α =
2 tan α
1 − tan 2 α .
= 5
, tan 4 arctan
12 1
=
5
120
119 .