Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12 Capítulo 1. Topología
Definición 1.18 Sean {Xi}i∈I espacios topológicos. Consideremos su producto
cartesiano X =
Xi y las proyecciones pi : X −→ Xi que asignan
i∈I
a cada punto su coordenada i-ésima. Llamaremos topología producto en X ala
que tiene por subbase a los conjuntos p −1
i [G], donde i ∈ I y G es abierto en Xi.
Una base de la topología producto la forman los conjuntos de la forma
i∈F
p −1
i [Gi], donde F es un subconjunto finito de I y Gi es abierto en Xi.
Equivalentemente, la base está formada por los conjuntos
Gi, donde cada
i∈I
Gi es abierto en Xi y Gi = Xi salvo para un número finito de índices. Al
conjunto de estos índices se le llama soporte del abierto básico
Gi.
Si el número de factores es finito la restricción se vuelve vacía, de modo que
un abierto básico en un producto X1 ×···×Xn es simplemente un conjunto de
la forma G1 ×···×Gn, donde cada Gi es abierto en Xi.
En lo sucesivo “casi todo i” querrá decir “todo índice i salvo un número
finito de ellos”.
Teorema 1.19 Sean {Xi}i∈I espacios topológicos, para cada i sea Bi una base
de Xi. Entonces los conjuntos de la forma
Gi, donde cada Gi está enBi o
i∈I
es Xi (y casi todos son Xi) forman una base de
Xi.
Demostración: Consideremos la topología T en el producto que tiene
por subbase a los conjuntos p −1
i [Gi] con Gi en Bi (y, por consiguiente, tieen
por base a los abiertos del enunciado). Como ciertamente estos conjuntos son
abiertos para la topología producto, tenemos que todo abierto de T lo es de
la topología producto. Recíprocamente, un abierto subbásico de la topología
producto es p −1
i [Gi], con Gi abierto en Xi. Entonces Gi =
B, donde cada
B∈Ai
Ai es un subconjunto de Bi. Por lo tanto p −1
i [Gi] =
p
B∈Ai
−1
i [B] es abierto
de T. Por consiguiente todo abierto de la topología producto lo es de T yasí
ambas topologías coinciden.
En lo sucesivo, a pesar de que en el producto se puedan considerar otras
bases, cuando digamos “abiertos básicos” nos referiremos a los abiertos indicados
en el teorema anterior tomando como bases de los factores las propias topologías
salvo que se esté considerando alguna base en concreto.
Tal y como anunciábamos, el producto de espacios topológicos generaliza al
producto de espacios métricos (o de espacios normados). El teorema siguiente
lo prueba.
Teorema 1.20 Si M1,...,Mn son espacios métricos, entonces la topología inducida
por las métricas de 1.7 en M = M1 ×···×Mn es la topología producto.
Demostración: Como las tres métricas inducen la misma topología sólo
es necesario considerar una de ellas, pero para la métrica d∞ se cumple Bɛ(x) =
i∈I
i∈I