Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

62 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
c) Si M es un espacio métrico y K ⊂ M es compacto, entonces K está
acotado.
Demostración: a) El argumento es el mismo que emplearíamos si K fuera
finito. Veamos que X \ K es abierto. Sea x ∈ X \ K. Para cada punto u ∈ K
existen abiertos disjuntos Au y Bu tales que u ∈ Au y x ∈ Bu. Si K fuera
finito bastaría tomar ahora la intersección de los Bu y tendríamos un entorno
de x contenido en X \ K. Ahora aplicamos la compacidad de K. Los conjuntos
Au forman un cubrimiento abierto de K, luego existe un subcubrimiento finito:
K ⊂ Au1 ∪···∪Aun. Ahora, n
Bui es un entorno de x que no corta a K, luego
X \ K es un entorno de x.
i=1
b) Si {Ai}i∈I es un cubrimiento abierto de C, entonces {Ai}i∈I ∪{K \ C}es
un cubrimiento abierto de K, luego existe un subcubrimiento finito
K = Ai1 ∪···∪Ain ∪ (K \ C).
Claramente entonces C ⊂ Ai1 ∪···∪Ain , luego C es compacto.
c) Sea x ∈ M un punto cualquiera. Para cada u ∈ K, sea ru = d(x, u)+1.
Obviamente K ⊂
(x). Por compacidad podemos extraer un subcubri-
Bru
u∈K
miento finito de modo que K ⊂ Bru (x)∪···∪Brun (x). Las bolas son conjuntos
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acotados, una unión finita de acotados es acotada y todo subconjunto de un acotado
está acotado. Por tanto K está acotado.
Teorema 2.6 Si K es un espacio compacto, toda sucesión en K posee un punto
adherente. Por tanto si además K cumple 1AN, toda sucesión en K tiene una
subsucesión convergente.
Demostración: Sea {an} ∞ n=0 una sucesión en K. Sea An = {am | m ≥ n}.
Obviamente
A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ A4 ⊃... ,
luego también
A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ A4 ⊃... ,
yasítenemos una familia de cerrados con la propiedad de la intersección finita.
Por compacidad existe un punto x ∈ ∞
Ai. Obviamente x es un punto adhe-
i=0
rente de la sucesión, pues si n es un natural y U es un entorno de x, entonces
x ∈ An, luego U ∩ An = ∅, es decir, existe un m ≥ n tal que am ∈ U.
Como habíamos anunciado, esta propiedad caracteriza a los espacios métricos
compactos.
Teorema 2.7 Un espacio métrico M es compacto si y sólo si toda sucesión en
M tiene una subsucesión convergente.