Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

122 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable
Demostración: Para x = a es evidente, pues se cumple Pn(f)(a) =f(a)
y Rn(f)(x) = 0. Supongamos que x = a. Sea
Q(x) =
Sea F : A −→ R dada por
F (t) =
x − t
f(x) − f(t)+
1! f ′ (t)+
+(x − t) n+1
Q(x) .
1
Rn(f)(x).
(x − a) n+1
(x − t)2
f
2!
′′ (t)+···+
(x − t)n
f
n!
n) (t)
La función f y sus n primeras derivadas son continuas y derivables, luego F
también es continua y derivable en A. Además F (x) =f(x) − f(x) =0y
F (a) =f(a) − Pn(f)(a)+(x − a) n+1 Q(x) = Rn(f)(x) − Rn(f)(x) =0.
Por el teorema de Rolle existe un punto entre a y x, o sea, de la forma
c = λa +(1− λ)x, tal que F ′ (c) = 0. Calculemos en general F ′ (t):
F ′ (t) = 0−
··· −
f ′ (t) − f ′ x − t
(t)+
n(x − t)n−1
f
n!
n) (t)+
2(x − t)
f
2!
′′ (x − t)2
(t)+ f
2!
′′′ (t)
(x − t)n
f
n!
n+1) (t) − (n + 1)(x − t) n
Q(x) .
1! f ′′ (t) −
Los términos consecutivos se cancelan entre sí, y queda
F ′ (x − t)n
(t) =− f
n!
n+1) (t)+(n + 1)(x − t) n Q(x).
Como F ′ (c) = 0, evaluando en c queda
Q(x) = f n+1) (c)
(n + 1)! ,
y por definición de Q:
Rn(f)(x) = f n+1) (c)
(n + 1)! (x − a)n+1 .
Así pues, la diferencia entre Pn(f)(x) yf(x) tiene la forma de un monomio
más del polinomio de Taylor salvo por el hecho de que la derivada (n + 1)-ésima
no se evalúa en el punto a, sino en un punto intermedio entre a y x.
Por ejemplo, si las derivadas de f están uniformemente acotadas en un intervalo
A, es decir, si existe una misma constante K tal que |f n) (x)| ≤K para
todo natural n y para todo x ∈ A, entonces
|f(x) − Pn(f)(x)| =
f
n+1)
(c)
(x − a)n+1
(n + 1)!
K|x − a|n+1
≤ .
(n + 1)!
En el ejemplo de la página 56probamos que la sucesión M n /n! converge a 0,
luego la sucesión {Pn(f)(x)} ∞ n=0 tiende a f(x). Así pues: