Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.1. Derivación 103
0.5
-2 -1 1 2
-0.5
Observamos que el eje vertical es tangente a la función en 0, pese a lo cual,
según veremos, la función no es derivable en 0.
Diremos que una función es derivable en un abierto A si es derivable en
todos los puntos de A. Una función es derivable si su dominio es un abierto y
es derivable en todos sus puntos.
Si f : A −→ R es derivable, tenemos definida otra función f ′ : A −→ R que
a cada punto a ∈ A le asigna su derivada f ′ (a). A esta función la llamamos
(función) derivada de f en A.
Teniendo en cuenta la motivación que hemos dado para el concepto de derivada,
es claro que toda recta no vertical, f(x) =mx + n es derivable en R
y su derivada es su pendiente, o sea, m. La razón es que, según hemos visto,
el cociente (3.1) es en este caso constante igual a m, luego el límite cuando h
tiende a0esigualmente m. En particular, la derivada de una función constante,
f(x) =a, esf ′ (x) =0.
Ejemplo Calculemos la derivada de la función f(x) =x 2 .
1
-1
f ′ (x + h)
(x) = lím
h→0
2 − x2 x
=lím
h
h→0
2 +2xh + h2 − x2 =lím 2x + h =2x.
h
h→0
Enseguida veremos que es muy fácil reconocer las funciones derivables así
como calcular sus derivadas. Primero demostremos un hecho básico. Obviamente,
lo primero que ha de hacer una función para parecerse a una recta es ser
continua.
Teorema 3.2 Si una función es derivable en un punto a, entonces es continua
en a.
Demostración: Sea f : A −→ R derivable en a. Entonces existe
f ′ (a) = lím
h→0
f(a + h) − f(a)
.
h
Como lím
h→0 h = 0, multiplicando obtenemos que
lím
h→0 (f(a + h) − f(a)) = f ′ (a)0 = 0.