Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.4. Aplicaciones del teorema de Stokes 375
La ecuación de continuidad Sea V el campo de velocidades de un fluido
y sea ρ su densidad (ambos dependen de la posición y del tiempo). Sea p un
punto cualquiera y S una esfera de centro p. En el capítulo anterior vimos que
el flujo del campo A = ρV a través de S se interpreta como la masa de fluido
que sale de S por unidad de tiempo. La cantidad de fluido contenida en S en un
instante dado es la integral de ρ sobre la bola B de frontera S, luego la variación
de esta masa es
Sea r el radio de B y
d
dt
B
ψr(p) = 1
m(B)
ρdm=
B
B
∂ρ
∂t dm.
∂ρ
dm + div Adm .
∂t B
Así, ψr(p)m(B) es el aumento de la masa de fluido en B por unidad de
tiempo menos la cantidad de masa que entra en B a través de S por unidad de
tiempo. Por consiguiente ψr(p) es la cantidad de masa que se crea en B por
unidad de tiempo y de volumen (la masa que aparece en B sin entrar por su
frontera). El mismo argumento que hemos empleado en la interpretación del
rotacional nos da ahora que
ψ(p) =lím ψr(p) =
r→0 ∂ρ
(p) + div A(p),
∂t
donde ψ(p) representa la cantidad de fluido que se crea alrededor de p por unidad
de tiempo y de volumen. La ecuación
div A = ψ − ∂ρ
. (10.4)
∂t
se denomina ecuación de continuidad de la hidrodinámica, y expresa la conservación
de la masa.
Los puntos donde ψ>0 se llaman fuentes (son puntos donde aparece fluido)
y los puntos donde ψ