Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

8.3. Medidas signadas 305
integral nula sobre todo conjunto. Tomamos E = {x ∈ X | f(x) > 0} y, como
f tiene integral nula sobre E, por el teorema 7.22 concluimos que f = 0 p.c.t.p.
Supongamos primero que λ es positiva (y finita). Sea w según el teorema
8.26. Sea ν la medida positiva finita dada por
ν(E) =λ(E)+ w dµ.
En otros términos, si f = χE se cumple
fdν= fdλ+
x
X
E
X
fwdµ.
Claramente, la misma relación vale cuando f es una función simple y, en consecuencia,
para funciones medibles no negativas. Si f ∈ L2 (ν) la desigualdad de
Hölder implica
fdλ
≤
|f| dλ ≤ |f| dν ≤ |f| 2 1/2 dν ν(X) 1/2 = ν(X) 1/2 f2.
X
X
Según el teorema 2.37, esto significa que
f ↦→ fdλ
X
X
es una aplicación lineal continua de L2 (ν) enR. Como L2 (ν) es un espacio
de Hilbert, el teorema 2.44 implica que existe g ∈ L2 (ν) tal que para toda
f ∈ L 2 (ν) se cumple
X
X
fdλ=
X
fg dν. (8.2)
Si aplicamos esto a una función característica f = χE, donde ν(E) > 0el
miembro izquierdo es λ(E) yasí
0 ≤ 1
gdν =
ν(E) E
λ(E)
≤ 1.
ν(E)
Según el teorema 8.27, resulta que g(x) ∈ [0, 1] p.c.t.x (respecto a ν). Puesto
que g sólo está determinada como elemento de L2 (ν), podemos modificarla en
un conjunto nulo y suponer que 0 ≤ g(x) ≤ 1 para todo x ∈ X. Entonces (8.2)
puede reescribirse como
(1 − g)f dλ= fgw dµ. (8.3)
Sean
X
A = {x ∈ X | 0 ≤ g(x) < 1}, B = {x ∈ X | g(x) =1}.
Definimos las medidas λa y λs mediante
λa(E) =λ(A ∩ E), λs(E) =λ(B ∩ E).
X