Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

418 Capítulo 12. Funciones Harmónicas
como problema de Dirichlet para Ω, y entre otras cosas probaremos que tiene
solución positiva en una familia muy amplia de abiertos.
12.1 El problema de Dirichlet sobre una bola
En esta sección resolveremos explícitamente el problema de Dirichlet para
una bola, es decir, dada una función continua sobre una esfera, veremos cómo
extenderla a una función continua sobre la bola que limita y harmónica en su
interior. Primeramente demostramos un resultado básico sobre existencia de
funciones harmónicas:
Teorema 12.2 Las únicas funciones harmónicas en Rn de la forma g(x) son
las de la forma
⎧
⎪⎨
A
+ B
f(x) = xn−2 ⎪⎩
A log x + B
si n = 2
si n =2
Demostración: Sea f una función de la forma indicada. La función g es
de clase C 2 en su dominio, pues f lo es y g(r) =f(r, 0,...,0). Por consiguiente
∂f
∂xi
= dg
dr
xi
x ,
∂ 2 f
∂x 2 i
= d2 g
dr 2
x2
i dg 1
+
x2 dr x − x2i x3
,
luego
∆f = d2g dg n − 1
+
dr2 dr x =0.
Esta ecuación se cumple para todo x = 0 en el dominio de f, de donde se
sigue claramente que
d2g dg n − 1
+
dr2 dr r =0
para todo r = 0 en el dominio de g. En el ejemplo de la página 247 vimos que
las únicas soluciones de esta ecuación son las de la forma
⎧
⎪⎨
A
+ B si n = 2
g(r) = rn−2 ⎪⎩
A log r + B si n =2
de donde se sigue que f tiene la forma indicada.
Consideremos la bola abierta de centro 0 y radio r en Rn y una función
continua f : ∂Br(0) −→ R. Queremos extenderla a una función continua que
sea harmónica en Br(0) (tomamos centro 0 por simplificar la notación, pero
todo vale igualmente para un centro arbitrario). Para ello nos valdremos de la
función
H(x, y) = y2 −x2 .
x − yn