Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.4. Algunos conceptos topológicos 19
Demostración: a) Basta probar que todo punto {x} en un espacio de
Hausdorff X es cerrado. Ahora bien, dado y ∈ X\{x}, existen abiertos disjuntos
U, V tales que x ∈ U, y ∈ V , luego y ∈ V ⊂ X \{x}, lo que prueba que X \{x}
es entorno de todos sus puntos, luego {x} es cerrado.
b) En un espacio de Hausdorff finito todo subconjunto es cerrado, luego todo
subconjunto es abierto, luego es discreto.
c) Si X es un espacio de Hausdorff y A ⊂ X, dados dos puntos x, y ∈ A,
existen abiertos disjuntos U, V en X que separan a x e y, luego U ∩ A, V ∩ A
son abiertos disjuntos en A que separan a x e y.
d) Consideremos un producto de espacios de Hausdorff
Xi y dos de sus
puntos x, y. Sea i0 un índice tal que xi0 = yi0. Existen abiertos U, V en Xi0
que separan a xi0 e yi0 . Entonces p−1(U)
yp−1(V
) son abiertos subbásicos
i0 i0
disjuntos en el producto que separan a x e y.
e) Si X es un espacio métrico, dos de sus puntos x, y están separados por
las bolas de centros x, y y radio d(x, y)/2.
f) La diagonal ∆ es cerrada si y sólo si su complementario es abierto, si y
sólo si para todo par (x, y) ∈ X × X con x = y existe un abierto básico U × V
en X × X tal que (x, y) ∈ U × V ⊂ X × X \ ∆. Ahora bien, la condición
U × V ⊂ X × X \ ∆ equivale a U ∩ V = ∅, luego la diagonal es cerrada si y sólo
si X es Hausdorff.
Ejercicio: Probar que si un producto de espacios topológicos es un espacio de Hausdorff
no vacío, entonces cada uno de los factores es un espacio de Hausdorff.
Terminamos la sección con algunas propiedades métricas, no topológicas, es
decir propiedades definidas a partir de la distancia en un espacio métrico y que
no se pueden expresar en términos de su topología.
Definición 1.40 Un subconjunto A de un espacio métrico es acotado si existe
un M>0 tal que para todo par de puntos x, y ∈ A se cumple d(x, y) ≤ M.
El diámetro de un conjunto acotado A es el supremo de las distancias d(x, y)
cuando (x, y) varía en A × A.
Es fácil probar que todo subconjunto de un conjunto acotado es acotado,
así como que la unión finita de conjuntos acotados está acotada. Sin embargo
hemos de tener presente el hecho siguiente: dado un espacio métrico M, podemos
definir d ′ (x, y) =mín 1,d(x, y) .Esfácil ver que d ′ es una distancia en M y las
bolas de radio menor que 1 para d ′ coinciden con las bolas respecto a d. Como
estas bolas forman una base de las respectivas topologías métricas concluimos
que ambas distancias definen la misma topología. Sin embargo, respecto a d ′
todos los conjuntos están acotados. Esto prueba que el concepto de acotación
no es topológico.
Ejercicio: Calcular el diámetro de una bola abierta en R n y en un espacio con la
métrica discreta.
i∈I