Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

358 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Obviamente H es cerrado en R n y su frontera topológica es
∂H = {x ∈ R n | u(x) =a}.
Cuando hablemos de un subespacio abierto U de un semiespacio H ⊂ R n
entenderemos que U es abierto respecto a la topología de H, no necesariamente
abierto en R n . Llamaremos frontera de U al conjunto ∂U = U ∩ ∂H. Es claro
que ∂U es la intersección de U con su frontera en R n , por lo que no depende de
H. Además el conjunto U es abierto en R n siysólo si ∂U = ∅. Los puntos de
U \ ∂U los llamaremos puntos interiores de U. Notemos que estos conceptos de
interior y frontera no coinciden con los topológicos.
Sea U un subespacio abierto de un semiespacio en R n . Diremos que una
aplicación f : U −→ R m es diferenciable (de clase C k , etc.) en un punto p ∈ U
si existe un entorno abierto W de p en R n y una aplicación g : W −→ R m
diferenciable (de clase C k , etc.) en el sentido usual y de modo que g|W ∩U = f.
Notemos que si p /∈ ∂U entonces podemos tomar W ⊂ U y la condición
equivale a que f sea diferenciable (en el sentido usual) en un entorno de p, es
decir, a que f sea diferenciable en p en el sentido usual.
Si f : U −→ V es un difeomorfismo de clase C 1 entre subespacios abiertos de
semiespacios de R n , entonces f[∂U] =∂V . En efecto, si p/∈ ∂U existe W ⊂ U
entorno abierto de p en R n tal que f|W es diferenciable en el sentido usual, luego
f[W ] ⊂ V es abierto en R n , luego f(p) /∈ ∂V .
Sea f : U −→ R m una aplicación de clase C 1 definida en un subespacio
abierto de un semiespacio y p ∈ ∂U. Para i =1, 2 sea gi : Wi −→ R m una
extensión de clase C 1 tal que Wi es abierto en R n y gi|Wi∩U = f. Entonces
dg1(p) =dg2(p). En efecto, la aplicación g = g1 − g2 es de clase C 1 en W =
W1 ∩ W2 y es nula en todos los puntos del abierto W ∩ (U \ ∂U). Sus derivadas
parciales serán nulas en dicho abierto y por continuidad también lo serán en p.
Por consiguiente dg(p) =0yasí dg1(p) =dg2(p).
En consecuencia podemos definir df (p) =dg(p), donde g es cualquier extensión
de f a un entorno de p en R n . En particular podemos hablar de las
derivadas parciales sucesivas de f en los puntos frontera de su dominio, las
cuales están completamente determinadas por f.
A partir de aquí todos los resultados válidos para funciones f : U −→ R m de
clase C k donde U es un abierto en R n se extienden trivialmente al caso en que
U es un abierto en un semiespacio. Ahora podemos modificar nuestra definición
de variedad para admitir puntos frontera:
Definición 10.2 Un conjunto S ⊂ R m es una variedad diferenciable (con frontera)
de dimensión n ≤ m y de clase C q si para cada punto p ∈ S existe un entorno
V de p, un abierto U en un semiespacio de R n y una función X : U −→ R m
de clase C q de modo que el rango de la matriz JX sea igual a n en todo punto
y X : U −→ S ∩ V sea un homeomorfismo.