Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

16 Capítulo 1. Topología
Demostración: Supongamos que x es adherente a A. Sea U un entorno
de x. Existe un abierto G tal que x ∈ G ⊂ U. Basta probar que G ∩ A = ∅.
Ahora bien, en caso contrario X \ G sería un cerrado que contiene a A, luego
A ⊂ X \ G, mientras que x ∈ A ∩ G.
Recíprocamente, si x tiene esta propiedad entonces x ∈ A, ya que de lo
contrario X \ A sería un entorno de x que no corta a A.
Vemos, pues, que, como su nombre indica, los puntos adherentes a un conjunto
A son los que “están pegados” a A, en el sentido de que tienen alrededor
puntos de A. Por ejemplo, es fácil ver que los puntos adherentes a un semiplano
abierto son sus propios puntos más los de su borde. Veamos ahora que el
concepto de borde corresponde a una noción topológica general:
Definición 1.32 Sea X un espacio topológico y A ⊂ X. Llamaremos frontera
de A al conjunto ∂A = A ∩ X \ A.
Así, los puntos frontera de un conjunto son aquellos que tienen alrededor
puntos que están en A y puntos que no están en A. Esto es claramente una
definición general del “borde” de un conjunto. Por ejemplo, la frontera de un
triángulo la forman los puntos de sus lados.
Teorema 1.33 Sea X un espacio topológico. Se cumple:
a) Si A ⊂ X entonces ◦
A⊂ A ⊂ A, además ◦
A es abierto y A es cerrado.
b) Si A ⊂ B ⊂ X y A es abierto entonces A ⊂ ◦
B.
c) Si A ⊂ B ⊂ X y B es cerrado entonces A ⊂ B.
d) Si A ⊂ B ⊂ X entonces ◦
A⊂ ◦
B y A ⊂ B.
e) Si A, B ⊂ X, entonces int (A ∩ B) = int A ∩ int B, A ∪ B = A ∪ B.
f) A ⊂ X es abierto si y sólo si A = ◦
A, y es cerrado si y sólo si A = A.
g) Si A ⊂ B ⊂ X, entonces A B = A X ∩ B.
h) Si A ⊂ X, entonces int (X \ A) =X \ cl A y cl (X \ A) =X \ int A.
Demostración: Muchas de estas propiedades son inmediatas. Probaremos
sólo algunas.
e) Claramente A ∪ B ⊂ A ∪ B, y el segundo conjunto es cerrado, luego
A ∪ B ⊂ A ∪ B. Por otra parte es claro que A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B, luego
tenemos la otra inclusión. La prueba con interiores es idéntica.
g) Observemos en primer lugar que los cerrados de B son exactamente las
intersecciones con B de los cerrados de X. En efecto, si C es cerrado en X
entonces X \ C es abierto en X, luego B ∩ (X \ C) =B \ C es abierto en B,
luego B \ (B \ C) =B ∩ C es cerrado en B. El recíproco es similar.