Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

268 Capítulo 7. Teoría de la medida
Demostración: Claramente |f| ≤g, luego f es integrable. Puesto que
|fn − f| ≤2g, podemos aplicar el lema de Fatou a las funciones no negativas
2g −|fn − f|, con lo que obtenemos que
2gdµ≤ lím (2g −|fn − f|) dµ = 2gdµ+lím (−|fn − f|) dµ.
X
n X
X
n X
Es fácil ver que el signo negativo sale del límite, pero cambiando éste por un
límite superior, así − lím
n X |fn
− f| dµ ≥ 0, o sea, lím
n X |fn − f| dµ ≤ 0.
Pero es obvio que 0 ≤ lím X
n
|fn
− f| dµ ≤ lím
n X |fn − f| dµ = 0, luego
los límites superior e inferior coinciden, luego lím
n X |fn − f| dµ = 0. Ahora
aplicamos que
fn dµ − fdµ
X
X
=
(fn − f) dµ
X
≤
|fn − f| dµ,
X
de donde se sigue el teorema.
Cuando una propiedad se verifica para todos los puntos de un espacio medida
salvo los de un conjunto nulo se dice que la propiedad se verifica para casi todo
punto, y lo abreviaremos p.c.t.p. Veamos un ejemplo:
Teorema 7.22 Si X es un espacio medida y f : X −→ [0, +∞] es una función
medible tal que
fdµ=0, entonces f =0p.c.t.p. de X.
X
Demostración: Para cada natural n>0 sea En = {x ∈ E | f(x) > 1/n}.
Entonces
1
n µ(En)
≤ fdµ≤ fdµ=0,
En
X
luego µ(En) = 0. La unión de los En es el conjunto E = {x ∈ X | f(x) > 0},
luego f = 0 salvo en los puntos del conjunto nulo E.
Cuando digamos que una función f : X −→ [−∞, +∞] está definida p.c.t.p.
esto significará que en realidad es f : X \ E −→ [−∞, +∞], donde E es un
conjunto nulo. Diremos que f es medible si lo es al extenderla a X tomando el
valor 0 en E. En tal caso podemos hablar de
fdµdefinida como la integral
X
de dicha extensión.
Terminamos la sección con un importante teorema sobre integrales paramétricas:
Teorema 7.23 Sea U abierto en Rn , K un espacio métrico compacto, µ una
medida de Borel finita en K, seanf : U × K −→ R una función continua y
g : K −→ R una función medible acotada. Definamos F : U −→ Rn como la
función dada por
F (x) = f(x, y)g(y) dµ(y),
K