Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

supera con creces a las técnicas con las que contaba la geometría analítica antes
del cálculo infinitesimal.
A lo largo del siglo XIX la matemática emprendió un proceso de fundamentación
que terminó con una teoría formal donde todos los conceptos están
perfectamente definidos a partir de unos conceptos básicos, los cuales a su vez
están completamente gobernados por unos axiomas precisos. Las ambigüedades
del cálculo infinitesimal fueron el motor principal de este proceso. En los años
sesenta del siglo XX se descubrió que una delicada teoría lógica, conocida como
análisis no estándar permite definir rigurosamente cantidades infinitesimales
con las que fundamentar el cálculo a la manera de Leibniz y L’Hôpital, pero no
es ése el camino habitual ni el que nosotros vamos a seguir. Lo normal es erradicar
los infinitésimos de la teoría, pero no así el formalismo infinitesimal. En
ocasiones los símbolos dy, dx aparecen en ciertas definiciones “en bloque”, sin
que se les pueda atribuir un significado independiente, como cuando se define
la derivada de una función y = y(x) mediante
dy
= lím
dx ∆x→0
y(x +∆x) − y(x)
.
∆x
De este modo, el cociente de diferenciales tiene el mismo significado que
para Leibniz, en el sentido de que al calcularlo obtenemos el mismo número o
la misma función que él obtenía, pero con la diferencia de que ya no se trata de
un cociente de diferenciales, no es un cociente de nada. La definición anterior
nos permite hablar de dy/dx, pero no de dy odedx.
No obstante se puede ir más lejos y dar una definición adecuada de dx y dy
de modo que se pueda probar la equivalencia
dy
= f(x) ⇐⇒ dy = f(x) dx.
dx
Es algo parecido al paso de una relación algebraica como xy 2 = x +4y 3 ,
donde x e y son, digamos, números reales indeterminados, a la misma expresión
entendida como una igualdad de polinomios, donde ahora x e y son indeterminadas
en un sentido matemático muy preciso. Por ejemplo, según una definición
habitual del anillo de polinomios R[x, y], la indeterminada x es la aplicación
de los pares de números naturales en R dada por x(1, 0)=1yx(i, j) =0
para cualquier otro par, es decir, algo que en nada recuerda a “un número real
indeterminado”.
Al introducir las formas diferenciales muchos libros modernos insisten en
recalcar que los objetos como dx son “puramente formales” —como las indeterminadas
en un anillo de polinomios—, que no tienen un singificado intrínseco,
sino que simplemente son objetos diseñados para que se comporten según ciertas
reglas que se adaptan a las propiedades de las derivadas e integrales. Llegan
incluso a perdir disculpas por lo excesivamente vacía y abstracta que resulta la
teoría en torno a ellos. Explican que, pese a ello, merece la pena el esfuerzo de
familiarizarse con ella porque al final se ve su gran (y sorprendente) utilidad.
En este libro insistiremos en todo momento en que las diferenciales tienen
un significado intrínseco muy concreto e intuitivo, y trataremos de evidenciarlo
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