Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

178 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
representaremos por −x. Es claro que x y −x tienen la misma imagen, pero el
extremo inicial de x es el extremo final de −x y viceversa.
De este modo, la noción de arco como clase estricta de arcos parametrizados
recoge el concepto geométrico de arco regular independiente del modo en que
se recorre, pero conservando el sentido del recorrido. Si consideramos clases no
estrictas identificamos cada arco con su inverso, y con ello hacemos abstracción
incluso del sentido en que lo recorremos. Todos estos conceptos se aplican
igualmente a curvas cualesquiera.
Longitud de un arco Consideremos el arco x(t) =(rcos t, r sen t), con r>0.
Su derivada tiene módulo r, lo que se interpreta como que el arco recorre la circunferencia
de centro (0, 0) y radio r a una velocidad constante de r unidades de
longitud por unidad de tiempo. Puesto que recorre la circunferencia completa
en 2π unidades de tiempo, concluimos que el espacio que recorre, es decir, la
longitud de la circunferencia, es 2πr. Más en general, mediante esta parametrización
recorremos un arco de α radianes en α unidades de tiempo, luego la
longitud de un arco de α radianes es αr, tal y como anticipábamos en el capítulo
anterior. Vamos a generalizar este argumento para definir la longitud de un arco
arbitrario.
Sea x :[a, b] −→ Rn un arco y vamos a definir la función s :[a, b] −→ R
tal que s(t) es la longitud de arco entre x(a) yx(t). Obviamente ha de cumplir
s(a) = 0. Supongamos que es derivable y vamos a calcular su derivada en un
punto t. El arco x se confunde con una recta alrededor de x(t). Esto significa
que si h es suficientemente pequeño el arco entre x(t) yx(t+h) es indistinguible
del segmento que une ambos puntos, luego tendremos
s(t + h) − s(t) ≈±x(t + h) − x(t),
donde el signo es el de h. La aproximación será mejor cuanto menor sea h.
Dividiendo entre h queda
s(t + h) − s(t)
≈
x(t + h) − x(t)
h h .
Estos dos cocientes se parecerán más cuanto menor sea h, lo que se traduce
en que los límites cuando h → 0 han de coincidir. Así:
luego
s(t) =
ds
dt = x′ (t), (4.2)
t
a
x ′ (u) du.
En particular, la longitud del arco completo será
L(x) =
b
a
x ′ (t) dt.