Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.4. Geodésicas 215
*Ejemplo Observemos que las distintas expresiones que hemos obtenido para
la longitud de un arco en el plano hiperbólico son de la forma (5.4) para ciertas
funciones E, F , G. El caso más simple es el del semiplano de Poincaré, donde
E = G =1/v 2 , F = 0. Sucede que los distintos modelos del plano hiperbólico
se comportan como cartas de una superficie que no conocemos, pero de la que
tenemos su elemento de longitud. Existe una teoría abstracta de variedades
diferenciales que permite tratar como tales a espacios topológicos dotados de
una “estructura diferenciable”, definida adecuadamente, sin necesidad de que
estén sumergidos en R n . El plano hiperbólico es una variedad en este sentido
abstracto.
El plano elíptico casi puede considerarse como una superficie en R 3 : la esfera
de radio 1. En realidad una esfera no es un plano elíptico, pues hemos de identificar
los puntos antípodas. Sin embargo, un “fragmento” no demasiado grande
de plano elíptico es isométrico a un fragmento de esfera. Por ello podemos considerar
a las cartas de una esfera que no cubran más de una semiesfera como
cartas del plano elíptico. Un tratamiento completamente riguroso requeriría el
concepto abstracto de variedad diferenciable.
5.4 Geodésicas
Imaginemos la superficie S de un planeta cuyos habitantes creen que es
plano. Cuando éstos creen caminar en línea recta en realidad sus trayectorias
son curvas, sin embargo su distinción entre rectas y curvas tiene un significado
objetivo. Tratemos de explicitarlo. Sea Np(S) elespacio normal a S en p, es
decir, el complemento ortogonal de Tp(S). Consideremos una curva α contenida
en S. Entonces α ′ (t) ∈ T α(t)(S). Podemos descomponer α ′′ (t) =vt(t)+vn(t),
donde vt(t) ∈ T α(t)(S) yvn(t) ∈ N α(t)(S). La descomposición es única. El
vector vn contiene la parte de la aceleración que mantiene a los habitantes del
planeta pegados a su superficie (la gravedad) y es “invisible” para ellos, pues
si el planeta fuera realmente plano la gravedad no curvaría sus trayectorias. El
vector vt contiene la variación de la velocidad que ellos detectan: determina si
la trayectoria se curva a la izquierda o a la derecha. Ellos llaman rectas a las
curvas que cumplen vt = 0. A continuación desarrollamos estas ideas en un
contexto más general:
Definición 5.19 Sea S ⊂ R m una variedad de dimensión n, sea α : I −→ S una
curva regular y V : I −→ R m una función de clase C 1 tal que para todo t ∈ I
se cumpla V (t) ∈ T α(t)(S). En estas condiciones diremos que V es un campo de
vectores sobre α. Llamaremos derivada covariante de V en cada punto t ala
proyección ortogonal de V ′ (t) sobre T α(t)(S). La representaremos por DV (t).
En la situación que describíamos antes, el vector vt es la derivada covariante
del campo dado por V (t) =α ′ (t). Para ilustrar el caso general podemos pensar
en un habitante del planeta S que camina rumbo norte con su brazo derecho
apuntando hacia el noreste. Si interpretamos el brazo como un campo de vectores
sobre su trayectoria, desde el punto de vista del caminante éste apunta