Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.8. Sucesiones y series numéricas 51
Por supuesto podemos usar otras bases diferentes de 10. Por ejemplo, en
base 10 tenemos que 1/2 =5/10 = 0, 5. En base dos, en cambio, 1/2 =0, 1.
Los números racionales expresables de esta forma se llaman números decimales
exactos.
Tomemos ahora un número natural k ≥ 2 y sea {an} ∞ n=1 una sucesión de
números naturales menores que k. Entonces
r
ank −n r
≤ (k − 1) k −n ∞
< (k − 1) k −n 1
k
=(k− 1)
1 − 1
k
n=1
n=1
n=1
=1.
Por lo tanto, el supremo de las sumas parciales de ∞
ank
n=1
−n es menor o
igual que 1, luego 0 ≤ ∞
ank
n=1
−n ≤ 1.
Esto nos permite extender nuestros desarrollos decimales hasta admitir un
número infinito de cifras. Por ejemplo: 532, 11111... representa al número
5 · 10 2 +3· 10 1 +2· 10 0 +1· 10 −1 +1· 10 −2 +1· 10 −3 +1· 10 −4 + ···
Como ∞
10
n=1
−n =1/9, tenemos que 532, 11111...=532+1/9.
Notar que las sucesiones finalmente nulas nos dan los decimales exactos:
3, 67=3, 6700000...
El interés de usar infinitas cifras decimales es que todo número real positivo
es expresable mediante uno de estos desarrollos, es decir, si k es un número
natural mayor o igual que 2, todo número real positivo x se puede escribir como
x =
r
bnk n ∞
+ ank −n ,
n=0
donde los coeficientes son números naturales menores que k.
Vamos a probarlo para k =10yx = √ 2, aunque el procedimiento es com-
r
pletamente general. La parte bnk
n=0
n del desarrollo buscado no es sino el
desarrollo decimal de la parte entera de x. En nuestro caso, como 1 < 2 < 4,
resulta que 1 < √ 2 < 2, luego la parte entera es 1.
Dividimos el intervalo [n, n + 1] en el que se encuentra x en 10 partes, que
en nuestro caso son
n=1
1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2
Nuestro número x debe estar en uno de los 10 intervalos. En nuestro caso,
como
(1, 0) 2 = 1 (1, 5) 2 = 2, 25
(1, 1) 2 = 1, 21 (1, 6) 2 = 2, 56
(1, 2) 2 = 1, 44 (1, 7) 2 = 2, 89
(1, 3) 2 = 1,6 9 (1, 8) 2 = 3, 24
(1, 4) 2 = 1, 96(1, 9) 2 = 3, 61