Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

32 Capítulo 1. Topología
Dado un hiperplano E en V que no pase por 0, tenemos que el complementario
de P [E] es un hiperplano de X y, según lo que acabamos de probar,
es cerrado. Como existe una homografía que transforma un hiperplano en otro
cualquiera, concluimos que todos los hiperplanos son cerrados y, como toda subvariedad
proyectiva es intersección de un número finito de hiperplanos, resulta
que todas las subvariedades de X son cerradas.
La topología inducida por X en una subvariedad proyectiva Y es la
topología proyectiva de Y .
Sea Y =P(W ). Tomemos un punto y ∈ Y . Sea Π un hiperplano en X que
no contenga a y, sea Π ′ = Y ∩ Π. Entonces una base de entornos de y para
las topologías de X e Y son los abiertos que contienen a y y están contenidos
en X \ ΠeY \ Π ′ respectivamente. Las topologías de estos espacios son las
euclídeas, luego una es la inducida por la otra, luego los entornos básicos de
y en Y son las intersecciones con Y de los entornos básicos de y en X. Por
consiguiente, la topología proyectiva y la topología inducida tienen una misma
base de entornos de cada punto, luego son iguales.
Para terminar describiremos la topología de la recta proyectiva compleja.
Tenemos que P 1 (C) =C ∪ {∞}. La topología en C es la euclídea. Sólo falta
determinar los entornos de ∞. Como la aplicación 1/z es un homeomorfismo,
una base de entornos de ∞ la forman las imágenes por 1/z de los elementos de
una base de entornos de 0, por ejemplo las bolas abiertas euclídeas de centro 0.
Pero la imagen de Bɛ(0) está formada por ∞ y los puntos z ∈ C tales que |z| >
1/ɛ, luego una base de entornos abiertos de ∞ la forman los complementarios
de las bolas cerradas de centro 0. Es fácil ver entonces que un conjunto U es
un entorno de ∞ siysólo si ∞∈U y U \ {∞} está acotado. Esta misma
descripción vale para los entornos de ∞ en P 1 (R).
Ejercicio: Probar que las homografías entre cónicas y rectas son homeomorfismos.
Ejemplo: La proyección estereográfica Consideremos la esfera de centro
(0, 0, 0) y radio 1, es decir, el conjunto S = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 =1}.
Sea N =(0, 0, 1) el “polo norte” de S.
La proyección estereográfica es la biyección entre S \{N} y R2 que a cada
punto P de S le asigna el punto donde la recta NP corta al plano z = 0 (que
podemos identificar con R2 ). Si P tiene coordenadas (x, y, z), la recta NP
está formada por los puntos (0, 0, 1) + λ(x, y, x − 1), con λ ∈ R. El valor de
λ que anula la tercera coordenada es el que cumple 1 + λ(z − 1) = 0, o sea,
λ =1/(1 − z), luego la proyección de P es el punto
f(x, y, z) =
x
1 − z ,
y
1 − z
Similarmente se calcula la proyección inversa, que es
g(u, v) =
2u
u 2 + v 2 +1 ,
.
2v
u 2 + v 2 +1 , u2 + v 2 − 1
u 2 + v 2 +1
.