Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

70 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Definición 2.20 Sea X un espacio topológico y x ∈ X. Llamaremos componente
conexa de x a la unión C(x) de todos los subconjuntos conexos de X que
contienen a x. Por el teorema 2.18, C(x) es un conexo, el mayor subespacio
conexo de X que contiene a x.
Es obvio que si x, y ∈ X, entonces C(x) yC(y) son iguales o disjuntas. En
efecto, si tienen puntos en común, por el teorema 2.18 resulta que C(x) ∪ C(y)
es un conexo, luego C(x) ∪ C(y) ⊂ C(x) yC(x) ∪ C(y) ⊂ C(y), con lo que
C(x) =C(x) ∪ C(y) =C(y).
En resumen, todo espacio X está dividido en componentes conexas disjuntas.
Las componentes conexas son cerradas por el teorema 2.19. En efecto, C(x) es
un conexo que contiene a x, luego C(x) ⊂ C(x).
Sin embargo las componentes conexas no siempre son abiertas. Si un espacio
tiene un número finito de componentes conexas, éstas serán abiertas y cerradas
a la vez, evidentemente, pero si hay infinitas componentes ya no es necesario.
Por ejemplo, ningún subconjunto de Q con más de un punto es conexo, porque
no es un intervalo de R, luego las componentes conexas de Q son los puntos,
que no son abiertos.
A la hora de probar que un espacio es conexo, resulta
y
útil el concepto de arco. Un arco en un espacio X es una
aplicación continua a :[0, 1] −→ X. El espacio X es arco- x
conexo si para todo par de puntos x, y ∈ X existe un arco
a :[0, 1] −→ X tal que a(0) = x, a(1) = y.
Como entonces x e y están en la imagen del arco a, que es un conexo, resulta
que x e y están en la misma componente conexa de X, o sea, que X tiene una
única componente conexa: Los espacios arco-conexos son conexos. El recíproco
no es cierto, pero no vamos a dar un ejemplo.
Dados dos puntos x, y ∈ Rn , el segmento que los une está formado por
los puntos de la forma y + λ(x − y), con λ ∈ [0, 1]. Esto se puede definir en
cualquier K-espacio vectorial. Si V es un espacio vectorial topológico y x, y ∈ V ,
entonces la aplicación a :[0, 1] −→ V dada por a(λ) =λx +(1−λ)y es un arco
(el segmento) que une x con y.
Un subconjunto A de un K-espacio vectorial V es convexo si para todos los
puntos x, y ∈ A ytodoλ∈ [0, 1] se cumple λx +(1−λ)y ∈ A, es decir, si
cuando A contiene a dos puntos, también contiene al segmento que los une.
Uniendo todo esto, resulta que en un espacio vectorial topológico, todo convexo
es arco-conexo, luego conexo. En particular todo espacio vectorial topológico
es conexo. En particular Kn es conexo.
Ejercicio: Probar que toda esfera de centro O en R n es imagen continua de R n \{0}.
Probar que R n \{0} es conexo y deducir de aquí la conexión de la esfera.
Ejercicio: Probar que R 2 no es homeomorfo a R.
Los conjuntos convexos tienen una propiedad que en general no cumplen los
conexos, y es que, claramente, la intersección de convexos es convexa.