Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.1. Integración en variedades 325
Si en particular tomamos f ∈ Cc(Vi) entonces hjf ∈ Cc(Vi ∩ Vj), luego
hjf dµj = hjf dµj = hjf dµi = hjf dµi,
Vj
luego
V
Vi∩Vj
fdµ=
Vi
Vi∩Vj
(h1 + ···+ hk)f dµi =
Vi
Vi
fdµi.
Por la unicidad del teorema de Riesz esto prueba que la restricción de µ a Vi
es precisamente µi, y es claro que esta propiedad determina a µ. En particular
la construcción de µ no depende de la partición de la unidad escogida.
Finalmente “pegamos” todas las medidas asociadas a todas las cartas en una
única medida en S:
Teorema 9.3 Sea S ⊂ Rm una variedad diferenciable de dimensión n. Entonces
existe una única medida de Borel regular m en S tal que si X : U −→ V es
una carta y f es una función integrable en V , se tiene
fdm= (X ◦ f)∆X dm, donde ∆X = det(gij).
V
U
Demostración: Definimos un operador T : Cc(S) −→ R. Para cada
f ∈ Cc(S) tomamos un número finito de cartas con imagen acotada cuya unión
cubra el soporte de f. Sea V la unión de las imágenes y µV
que acabamos de construir. Definimos
la medida sobre U
T (f) = fdµV .
Es claro que T (f) no depende de las cartas con que cubrimos el soporte, pues
si realizamos dos cubrimientos distintos V = V1 ∪···∪Vk y V ′ = V ′
1 ∪···∪V ′
k ,
entonces cada abierto Vi ∩ V ′
j es la imagen de dos cartas que inducen la misma
medida y T (f) coincide con la integral de f en V ∩V ′ respecto a la única medida
que extiende a todas ellas. Teniendo esto en cuenta es fácil probar que T es
lineal y positivo, con lo que existe una única medida de Borel regular m en S
tal que
S
V
fdm= T (f).
Es claro que m extiende a la medida inducida por cualquier carta. El resto
del teorema es ya inmediato.
La compleción de la medida construida en el teorema anterior se llama a veces
medida de Lebesgue en la variedad S. Observemos que si tomamos S = R n con
la carta identidad, la medida del teorema es precisamente la medida de Lebesgue
en R n (pues ∆X = 1). Lo mismo es válido si S es un subespacio vectorial de
R m de dimensión n.
Los razonamientos que han motivado la construcción de la medida de Lebesgue
en una variedad se traducen en el teorema siguiente: