Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

248 Capítulo 6. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ahora es claro que las soluciones de la ecuación dada están todas definidas
en ]0, +∞[ y vienen dadas por
k+1 Ax + B si k = −1
y(t) =
A log t + B si k = −1
Estas expresiones incluyen las funciones constantes, que habíamos dejado aparte.
El análogo de segundo orden a un campo de velocidades sería un campo de
aceleraciones, pero en física resulta más natural hablar de campos de fuerzas.
Es frecuente que la fuerza Ft(x) que actúa sobre un cuerpo en un instante dado
dependa únicamente de su posición en el espacio, con lo que tenemos una función
F : I × D −→ Rn . El campo de fuerzas será estacionario si no depende del
tiempo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la trayectoria x(t) deun
cuerpo de masa m sometido a este campo vendrá determinada por la ecuación
diferencial
Ft = mx ′′ .
La solución depende de la posición inicial x0 y la velocidad inicial v0.
Ejemplo La ley de la gravitación universal de Newton afirma que la fuerza
con que se atraen mutuamente dos cuerpos es directamente proporcional a sus
masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Consideremos una región del espacio donde haya un cuerpo S de masa M tan
grande que la masa de cualquier otro cuerpo en las proximidades resulte despreciable.
Es el caso del Sol, rodeado de planetas de masa insignificante a su lado,
o de la Tierra y sus alrededores. En tal caso podemos suponer que la única
fuerza que actúa sobre un cuerpo es la provocada por S. En efecto, cuando dejamos
caer un objeto nuestro cuerpo lo atrae por gravedad, pero esta atracción
es completamente inapreciable frente a la gravitación terrestre. Igualmente,
Júpiter atrae gravitatoriamente a la Tierra, pero la fuerza con que lo hace es
insignificante frente a la del Sol.
Si tomamos un sistema de referencia con origen en el punto donde se halla
el objeto masivo S, la fuerza que experimenta otro cuerpo de masa m situado
en un punto x viene dada por
F = − GMm
x,
x3 donde G =6,672 · 10 −11 N · m 2 /Kg 2 es la constante de gravitación universal. El
hecho de que su valor sea tan pequeño hace que la gravedad no se manifieste
salvo en presencia de grandes masas, como las estrellas y los planetas.
Tras estudiar minuciosamente una gran cantidad de observaciones astronómicas,
en 1610 Kepler publicó suastronomia nova, donde concluía que los pla-
netas se mueven siguiendo órbitas elípticas, de modo que el Sol ocupa uno de
los focos. Ésta es la primera ley de Kepler. Newton mostró que éste y muchos
otros hechos sobre el movimiento de los astros pueden deducirse a partir de las