Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.2. El álgebra exterior 333
Teorema 9.9 El producto exterior tiene las propiedades siguientes (se entiende
que ω, ω ′ , ω ′′ son formas de los grados adecuados para que tengan sentido las
operaciones):
a) (ω ∧ ω ′ ) ∧ ω ′′ = ω ∧ (ω ′ ∧ ω ′′ ),
b) ω ∧ (ω ′ + ω ′′ )=ω ∧ ω ′ + ω ∧ ω ′′ , (ω + ω ′ ) ∧ ω ′′ = ω ∧ ω ′′ + ω ′ ∧ ω ′′ ,
c) α(ω ∧ ω ′ )=(αω) ∧ ω ′ = ω ∧ (αω ′ ), para α ∈ R,
d) ω ∧ ω ′ =(−1) kk′ ω ′ ∧ ω.
Demostración: a) Supongamos que ω, ω ′ y ω ′′ tienen grados k, k ′ y k ′′
respectivamente. Entonces
(ω ∧ ω ′ ) ∧ ω ′′ (u1,...,uk+k ′ +k ′′)
=
=
sig σ
(k + k ′ )!k ′′ ! (ω ∧ ω′ )(u σ(1),...,u σ(k+k ′ ))
σ∈Σk+k ′ +k ′′
ω ′′ (uσ(k+k ′ +1),...,uσ(k+k ′ +k ′′ ))
sig σ
(k + k
σ∈Σk+k ′ +k ′′
′ )!k ′′ sig τ
! k!k
τ∈Σk+k ′
′ ! ω(uστ(1),...,uστ(k)) ω ′ (uστ(k+1),...,uστ(k+k ′ ))ω ′′ (uσ(k+k ′ +1),...,uσ(k+k ′ +k ′′ )).
Si identificamos las permutaciones τ ∈ Σk+k ′ con las permutaciones de
Σk+k ′ +k ′′ que fijan a los índices mayores que k + k′ la signatura es la misma y
podemos escribir στ en todos los subíndices. Entonces queda
′ ′′
(ω ∧ ω ) ∧ ω (u1,...,uk+k ′ +k ′′)
=
sig στ
(k + k
σ∈Σk+k ′ +k ′′ τ∈Σk+k ′
′ )!k!k ′ !k ′′ ! ω(uστ(1),...,uστ(k)) ω ′ (uστ(k+1),...,uστ(k+k ′ ))ω ′′ (uσ(k+k ′ +1),...,uσ(k+k ′ +k ′′ )).
Claramente, στ recorre (k + k ′ )! veces cada permutación de Σk+k ′ +k ′′, luego
tenemos que
′ ′′
(ω ∧ ω ) ∧ ω (u1,...,uk+k ′ +k ′′)
=
sig σ
k!k ′ !k ′′ ! ω(u σ(1),...,u σ(k))ω ′ (u σ(k+1),...,u σ(k+k ′ ))
σ∈Σk+k ′ +k ′′
ω ′′ (uσ(k+k ′ +1),...,uσ(k+k ′ +k ′′ )).
Si partimos de ω ∧(ω ′ ∧ω ′′ ) llegamos claramente a la misma expresión, luego
(ω ∧ ω ′ ) ∧ ω ′′ = ω ∧ (ω ′ ∧ ω ′′ ).
Las propiedades b) y c) son inmediatas. Para probar d) supongamos que
ω ∈ A k (E) yω ′ ∈ A k′
(E). Entonces
ω ∧ ω ′ =(−1) kk′
ω ′ ∧ ω.