Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

1.6. Límites de funciones 35
puntos de alrededor de (0, 0) en puntos de alrededor de 0, o también, que los
valores que toma f son más cercanos a 0 cuanto más cercanos a (0, 0) son los
puntos que consideramos. Todo esto tiene sentido aunque la función f no esté
definida en (0, 0).
Comenzamos introduciendo el concepto topológico que permite expresar con
rigor las ideas que acabamos de introducir:
Definición 1.69 Sean X, Y espacios topológicos, A ⊂ X y f : A −→ Y . Sea
a ∈ A ′ y b ∈ Y . Diremos que f converge a b cuando x tiende a a si para todo
entorno V de b existe un entorno U de a tal que si x ∈ U ∩ A y x = a, entonces
f(x) ∈ V .
La interpretación es clara: los puntos f(x) están alrededor de b [= en un
entorno arbitrario V de b] siempre que x está alrededor de a [= en un entorno
adecuado U de a, que dependerádeV ], o más simplemente: si f envía los puntos
de alrededor de a a los alrededores de b.
Si Y es un espacio de Hausdorff, una función converge a lo sumo a un único b
para cada punto a. En efecto, si f converge a dos puntos b y b ′ cuando x tiende a
a, podríamos tomar entornos disjuntos V y V ′ de b y b ′ , para los cuales existirían
entornos U y U ′ de a de modo que si x ∈ U ∩ U ′ ∩ A, entonces f(x) ∈ V ∩ V ′ ,
contradicción.
Por ello, si se da la convergencia, diremos que b es el límite cuando x tiende
a a de f(x), y lo representaremos por
b =lím f(x).
x→a
No exigimos que la función f esté definida en a. Tan sólo que a sea un punto
de acumulación del dominio de f o, de lo contrario, no existirían puntos x a los
que aplicar la definición y f convergería trivialmente a todos los puntos de Y .
En estos términos, lo que afirmábamos antes es que existe
lím
(x,y)→(0,0) x2
2
− 1
x2 + y2 =0,
de modo que los valores que toma esta expresión se acercan más a 0 cuanto más
se acercan las variables al punto (0, 0). Todavía no podemos probarlo.
Por supuesto es posible que la función f esté definida en a, pero esto es irrelevante,
pues en la definición de límite aparecen sólo puntos x = a, lo que significa
que el límite es independiente de f(a). En otras palabras, si modificáramos el
valor de f(a), la existencia del límite y su valor concreto no se alterarían.
También es obvio que la existencia o no de límite sólo depende del comportamiento
de la función en un entorno del punto. En otras palabras, que si dos
funciones coinciden en un entorno de un punto a (salvo quizá ena) entonces
ambas tienen límite en a o ninguna lo tiene y, si lo tienen, éstos coinciden.
La relación entre los límites y la continuidad es la siguiente: