Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

176 Capítulo 4. Cálculo diferencial de varias variables
interpreta la dirección de x ′ (t). Es fácil ver que su sentido es el sentido de avance
al recorrer la curva. Observemos que si f : I −→ R es una función derivable en
un punto t, entonces la tangente del arco x(t) = t, f(t)
es la recta de dirección
′ ′ 1,f (t) , luego su pendiente es f (t), luego coincide con la tangente tal y como
la definimos en el capítulo anterior.
Ya tenemos interpretados la dirección y el sentido de x ′ (t). Falta interpretar
su módulo. Claramente se trata del límite del módulo de (4.1). La cantidad
x(t + h) − x(t) es la distancia que recorremos en h unidades de tiempo desde
el instante t, luego al dividir entre |h| obtenemos la distancia media recorrida
por unidad de tiempo en el intervalo de extremos t y t + h, es decir, la velocidad
media en dicho intervalo. El límite cuando h → 0 es, pues, la velocidad con
que recorremos la curva en el instante t. En realidad los físicos prefieren llamar
velocidad a todo el vector x ′ (t), de modo que la dirección indica hacia dónde
nos movemos en el instante t yelmódulo indica con qué rapidez lo hacemos.
Conviene precisar estas ideas. La primera ley de Newton afirma que si un
cuerpo está libre de toda acción externa, permanecerá en reposo o se moverá en
línea recta a velocidad constante. Todo esto se resume en que su velocidad en
sentido vectorial permanece constante.
Ejemplo Consideremos la curva x(t) = (cos t, sen t), definida en el intervalo
[0, +∞[. Esta curva recorre infinitas veces la circunferencia de centro (0, 0) y
radio 1. Su velocidad es x ′ (t) =(− sen t, cos t), cuyo módulo es constante igual a
1, esto significa que recorremos la circunferencia a la misma velocidad, digamos
de un metro por segundo. Para que un objeto siga esta trayectoria es necesario
que una fuerza lo obligue a mantenerse a la misma distancia del centro. Por
ejemplo, el móvil podría ser un cuerpo que gira atado a una cuerda. El hecho
de que x ′ (2π) =(0, 1) significa que si en el instante 2π se cortara la cuerda
entonces el cuerpo, libre ya de la fuerza que le retenía, saldría despedido hacia
arriba a razón de un metro por segundo.
Consideremos ahora la curva x(t) = (cost 2 , sen t 2 ). Su trayectoria es la
misma, pero ahora la velocidad es x ′ (t) =(−2t sen t 2 , 2t cos t 2 ), cuyo módulo es
2t, lo que significa que ahora el móvil gira cada vez más rápido. Comienza a
velocidad 0, al dar una vuelta alcanza la velocidad de 2 metros por segundo, a
la segunda vuelta de 4, etc.
Las consideraciones anteriores muestran que la derivabilidad de una curva
se traduce en la existencia de una recta tangente salvo que la derivada sea nula.
La existencia de una recta tangente en x(t) significa que el arco se confunde con
una recta alrededor de x(t), con lo que el arco no puede formar un “pico” en
x(t). Esto ya no es cierto si x ′ (t) = 0. Por ejemplo, la curva x(t) =(t 3 , |t 3 |)es
derivable en 0, pues su derivada por la izquierda coincide con la de (t 3 , −t 3 )y
su derivada por la derecha coincide con la de (t 3 , −t 3 ), y ambas son nulas, pero
su gráfica es la misma que la de (t, |t|), es decir, la de la función |x|, que tiene
un pico en 0. Esto nos lleva a descartar las curvas con derivada nula.