Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

68 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud
Según hemos dicho, es indistinto exigir que U y V sean abiertos como que
sean cerrados, pues de hecho si cumplen esto son a la vez abiertos y cerrados.
Por lo tanto, un espacio X es conexo si y sólo si sus únicos subconjuntos que
son a la vez abiertos y cerrados son X y ∅.
Es obvio que [0, 1]∪[2, 3], o incluso [0, 1/2[∪]1/2, 1] son ejemplos de espacios
disconexos. Notar que [0, 1/2[ no es cerrado en R, pero sí lo es en el espacio
[0, 1/2[ ∪ ]1/2, 1] (su clausura en este espacio es la intersección con él de su
clausura en R, que es [0, 1/2], o sea, es [0, 1/2[).
Es importante tener claro que los intervalos [0, 1/2[ y ]1/2, 1] están separados
pese a que sólo falta un punto entre ellos. La falta de ese punto es suficiente
para que ambas partes no se puedan “comunicar”, en el sentido de que, por
ejemplo, ninguna sucesión contenida en una de las piezas puede converger a un
punto de la otra. Esto es suficiente para que ambas partes sean independientes
topológicamente. Así, la función f :[0, 1/2[ ∪ ]1/2, 1] −→ R dada por
f(x) =
1 si x ∈ [0, 1/2[ ,
2 si x ∈ ]1/2, 1]
es continua, mientras que sería imposible definir una función continua sobre
[0, 1] que sólo tomara los valores 1y2.
Si la desconexión de estos espacios es clara, no lo es tanto la conexión de
espacios como [0, 1].
Ejercicio: Probar que el intervalo [0, 1] ⊂ Q es disconexo.
Teorema 2.16 Un subconjunto de R es conexo si y sólo si es un intervalo.
Demostración: Sea C un subespacio conexo de R. Sean a y b su ínfimo
y su supremo, respectivamente. Vamos a probar que C es uno de los cuatro
intervalos de extremos a y b. Para ello basta ver que si a