Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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88 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud Si ninguna de las series converge absolutamente el resultado no tiene por qué cumplirse. Ejemplo Consideremos la serie ∞ n=0 (−1) n √ n +1 . La serie converge por el criterio de Leibniz. El producto de Cauchy de esta serie por sí misma tiene término general luego Cuando n ≥ k tenemos Por consiguiente cn =(−1) n (n − k + 1)(k +1)= n k=0 1 (n − k + 1)(k +1) . n 2 +1 2 n 2 n − − k ≤ 2 2 +1 2 , 1 ≥ (n − k + 1)(k +1) 1 2 = +1 n +2 . |cn| ≥ n k=0 n 2 2 2(n +1) = n +2 n +1 . Esta expresión converge a 2, luego cn no converge a0yelproducto de Cauchy no converge. El teorema anterior prueba, pues, que la serie dada es condicionalmente convergente. Otro punto en el que la convergencia absoluta resulta crucial es en el de la reordenación de los términos de una serie. Dada una serie convergente ∞ an y una biyección σ : N −→ N, podemos n=0 considerar la serie ∞ aσ(n) y estudiar su convergencia. De nuevo el resultado n=0 natural exige que la serie converja absolutamente: Teorema 2.50 Si ∞ an es una serie absolutamente convergente y σ : N −→ N n=0 es una aplicación biyectiva, entonces la serie ∞ aσ(n) es absolutamente conver- n=0 gente y tiene la misma suma. Demostración: Una serie es absolutamente convergente si y sólo si las sumas parciales de sus módulos forman un conjunto acotado. Toda suma parcial de los módulos de la reordenación está mayorada por una suma parcial de los
2.5. Aplicaciones a las series numéricas 89 módulos de la serie original (tomando los sumandos necesarios para incluir todos los que aparecen en la suma dada). Por tanto las sumas parciales de los módulos de la reordenación están acotadas y la serie converge absolutamente. Sea ɛ>0. Existe un número natural n0 tal que si n ≥ n0 n ∞ ak − ak = ∞ ak ≤ ∞ ∞ n |ak| = |ak|− |ak| < ɛ 2 . k=0 k=0 k=n k=n Sea m0 ≥ n0 tal que {0, 1,...,n0} ⊂{σ(0),σ(1),...,σ(m0)}. Entonces si n ≥ m0, n ∞ aσ(k) − ak k=0 k=0 ≤ n n0 aσ(k) − ak k=0 k=0 + n0 ∞ ak − ak k=0 k=0 < ∞ |ak| + ɛ 2 0, existe un F0 ⊂ I finito tal que para todo F0 ⊂ F ⊂ I, se cumple ai − i∈I ai
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Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
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