Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

304 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Demostración: Sea {En} ∞ n=1 una partición de X en conjuntos disjuntos
de medida finita. Definamos
wn(x) =
1
2 n (1+µ(En))
La función w = ∞
wn cumple lo pedido.
n=1
si x ∈ En
0 si x ∈ X \ En
Teorema 8.27 Sea µ una medida positiva finita, f ∈ L1 (µ) y C ⊂ R un conjunto
cerrado. Si
PE(f) = 1
fdµ∈ C
µ(E) E
para todo conjunto medible E no nulo, entonces f(x) ∈ C p.c.t. x ∈ X.
Demostración: Sea I =[x− r, x + r] un intervalo cerrado disjunto de C.
Puesto que R \ C es unión de una familia numerable de tales intervalos, basta
probar que E = f −1 [I] es nulo. En caso contrario
|PE(f) − x| = 1
µ(E)
lo cual es imposible, pues PE(f) ∈ C.
Finalmente podemos probar:
E
(f − x) dµ
1
≤ |f − x| dµ ≤ r,
µ(E) E
Teorema 8.28 (de Lebesgue-Radon-Nikod´ym) Sea µ una medida positiva
σ-finita en un conjunto X yseaλ una medida signada sobre la misma σ-álgebra.
Entonces
a) Existe un único par de medidas signadas λa y λs tales que
λ = λa + λs, λa ≪ µ, λs ⊥ µ.
Si λ es positiva (y finita) también lo son λa y λs.
b) Existe una única h ∈ L1 (µ) tal que para todo conjunto medible E
λa(E) = h dµ.
La parte a) se conoce como Teorema de Lebesgue. La parte b) es el Teorema
de Radon-Nikod´ym.
Demostración: La unicidad de a) es clara a partir de 8.25, pues si λ ′ a, λ ′ s
es otro par que cumpla lo mismo, entonces λ ′ a − λa = λs − λ ′ s, λ ′ a − λa ≪ µ y
λs − λ ′ s ⊥ µ, luego λ ′ a − λa = λs − λ ′ s =0.
La unicidad de h en b) (como función de L 1 (µ), es decir, p.c.t.p.) es fácil de
probar: si existe otra h ′ en las mismas condiciones entonces f = h − h ′ tiene
E