Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

378 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Definición 10.16 Sea φ : U −→ R un campo escalar en un abierto de R n .Se
llama laplaciano de φ a
∆φ = div ∇φ = ∂2 φ
∂x 2 1
+ ···+ ∂2φ ∂x2 .
n
Si S es una variedad n − 1-dimensional orientable contenida en U y n es su
vector normal, se define la derivada direccional de φ respecto a n como
dφ
dn =(∇φ)n.
(Notar que efectivamente se trata de la derivada direccional de φ en el sentido
usual y en la dirección que marca n.) Aplicando a ∇φ el teorema de la
divergencia obtenemos:
Teorema 10.17 Sea V ⊂ Rn una variedad compacta de dimensión n contenida
en un abierto U. Seaφ : U ⊂ Rn −→ R un campo escalar. Entonces
dφ
∆φdm=
V
∂V dn dσ,
donde n es el vector normal a ∂V que apunta hacia fuera de V .
En otras palabras, el flujo del gradiente de un campo a través de una superficie
cerrada es igual a la integral de su laplaciano sobre el recinto que ésta
encierra. Esto nos relaciona el laplaciano con los campos conservativos, que se
expresan como gradientes de campos escalares.
El campo gravitatorio Consideremos de nuevo el campo gravitatorio generado
por un cuerpo puntual de masa M situado en un punto y. Sabemos que
su intensidad (es decir, la fuerza que ejerce por unidad de masa) viene dada por
la ley de Newton:
E(x) =− GM
(x − y),
x − y3 suponiendo al cuerpo en el origen de coordenadas, y que además puede expresarse
de la forma E = −∇V , donde
V (x) =− GM
x − y .
Un cálculo elemental muestra que ∆V = div E = 0. Esto significa que el
flujo de E a través de una superficie cerrada S que rodee a un punto dado y no
contenga a y es nulo (es la integral del laplaciano de V ). No ocurre lo mismo
si la superficie contiene a y en su interior (notar que si y está enS el flujo no
está definido). En efecto, en tal caso podemos tomar una bola B de centro y
contenida en la región G rodeada por S. Entonces G \ B es una variedad con
frontera, la cual es igual a S ∪ ∂B. La orientación positiva en S es la misma
respecto a G y respecto a G \ B, mientras que la orientación positiva en ∂B