Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

332 Capítulo 9. Formas diferenciales
Convendremos en que A0 (E) =R. Definimos el álgebra exterior de E como la
suma directa
∞
A(E) = A k (E).
k=0
Es claro que una forma alternada se anula cuando dos de sus argumentos
son iguales, luego también se anula al actuar sobre vectores linealmente dependientes
(al desarrollar uno como combinación lineal de los demás la imagen de
la forma se descompone en una combinación lineal de imágenes de k-tuplas con
dos componentes iguales). Esto implica que A k (E) = 0 para k>ny por lo
tanto A(E) tiene dimensión finita. Vamos a estudiar ahora la estructura de los
espacios A k (E) para k ≤ n.
Es claro que A 1 (E) es simplemente el espacio de aplicaciones lineales de E
en R, es decir, el espacio dual de E, y tiene dimensión n. Una base la forman
las diferenciales (du1,...,dun).
Para obtener bases de los espacios de k-formas de orden superior introdu-
cimos el producto exterior de formas, definido como sigue: si ω ∈ A k (E) y
ω ′ ∈ A k′
(E), entonces ω ∧ ω ′ es la (k + k ′ )-forma dada por
(ω∧ω ′
)(u1,...,uk+k ′)=
σ∈Σ k+k ′
donde σ recorre las permutaciones de {1,...,k+ k ′ }.
sig σ
k!k ′ ! ω(uσ(1),...,uσ(k))ω ′ (uσ(k+1),...,uσ(k+k ′ )),
Es inmediato comprobar que ω ∧ ω ′ es realmente una forma. Obviamente es
multilineal y si τ ∈ Σk+k ′ entonces
(ω ∧ ω ′ )(uτ(1),...,uτ(k+k ′ ))
=
sig σ
k!k ′ ! ω(uστ(1),...,uστ(k))ω ′ (uστ(k+1),...,uστ(k+k ′ ))
σ∈Σ k+k ′
= sig τ
σ∈Σ k+k ′
= sig τ (ω ∧ ω ′ )(u1,...,uk+k ′).
sig στ
k!k ′ ! ω(u στ(1),...,u στ(k))ω ′ (u στ(k+1),...,u στ(k+k ′ ))
La definición de ω ∧ ω ′ vale incluso si k =0ok ′ = 0. Por ejemplo, si k =0
convenimos que ω()=ω ∈ R, con lo que
(ω ∧ ω ′ sig σ
)(u1,...,uk ′)=
k
σ∈Σk ′
′ ! ωω′ (uσ(1),...,uσ(k ′ ))
= 1
k ′ ! ωω′ (u1,...,uk ′)=ωω′ (u1,...,un).
σ∈Σ k ′
Así pues, en este caso ω ∧ ω ′ = ωω ′ (e igualmente si k ′ = 0).