Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

420 Capítulo 12. Funciones Harmónicas
Teorema 12.3 Sea f : ∂Br(x0) ⊂ Rn −→ Rn una función continua. Entonces
existe una única función continua uf : Br(x0) −→ R que extiende a f yes
harmónica en Br(x0). En los puntos interiores de la bola uf viene dada por
uf (x) = 1
H(x − x0,y) f(y) dσ(y).
rσn−1
y−x0=r
De aquí se desprenden muchas consecuencias. La unicidad de la extensión
nos da inmediatamente la siguiente propiedad de las funciones harmónicas, que
generaliza al teorema de Gauss:
Teorema 12.4 Sea f :Ω−→ R una función harmónica en un abierto de Rn ,
sea x0 ∈ Ω y r>0 tal que Br(x0) ⊂ Ω. Entonces si x