Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

372 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Con esto podemos probar (10.3) en el caso en que p es un punto interior de
S. En efecto, entonces Vp no corta a ∂S, luego el segundo miembro es nulo. Por
otra parte, el soporte de ω ∗ está contenido en el interior del cubo Cp, luego ω ∗
es nula en ∂Cp, luego el teorema de Stokes para un cubo nos da que
dω =
dω ∗
=
ω ∗ =0.
Vp Cp
∂Cp
Así pues, en adelante supondremos que p ∈ ∂S. Para evaluar el segundo
miembro de (10.3) usamos la carta positiva X(0,x2,...,xn). Notemos que en
Vp ∩ ∂S la función x1 es constante, luego dx1 = 0. Supongamos primero i =1.
La carta transforma Vp ∩ ∂S en la cara (Cp) 1 1 del cubo, luego
Vp∩∂S
ω =
(Cp) 1 1
f Xp(0,x2,...,xn)
dx2 ···dxn =
(Cp) 1 1
(la última igualdad por definición de integral sobre una cara). La igualdad
ω = ω ∗
Vp∩∂S
(Cp) 1 1
es válida aunque sea i = 1, pues en tal caso ω es nula en Vp ∩ ∂S y el miembro
derecho es nulo por definición. En definitiva, la igualdad (10.3) que tenemos
que probar se reduce a
dω ∗
= ω ∗ .
Cp
(Cp) 1 1
Por el teorema de Stokes para un cubo basta probar que
ω ∗
= ω ∗ .
∂Cp (Cp) 1 1
Ahora bien, ω∗ tiene el soporte contenido en la antiimagen por Xp de Vp,
que es ]−1, 0] × ]−1, 1[ n−1 , lo que significa que ω∗ es nula sobre todas las caras
de Cp salvo quizá (Cp) 1 1, y aplicando la definición de integral sobre la frontera
de un cubo tenemos la igualdad anterior.
El teorema anterior engloba a muchos casos particulares conocidos desde
mucho antes, uno de ellos el Teorema de Stokes propiamente dicho, que se
obtiene al aplicarlo al elemento de circulación de un campo en R 3 a través de
una curva.
Teorema 10.14 (Teorema de Stokes) Sea S una superficie compacta orientable
contenida en un abierto U ⊂ R3 yseaF : U −→ R3 un campo vectorial.
Entonces
(rot F )ndσ = Fdr,
S
∂S
donde n es el vector normal a S que determina su orientación.
ω ∗ ,