Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

254 Capítulo 7. Teoría de la medida
Admitiendo (7.1), es fácil ver que el hecho de que el área de la unión de
una sucesión creciente de conjuntos sea el supremo de las áreas es equivalente
a que el área de una unión disjunta numerable de conjuntos sea la suma de
sus áreas. Este principio engloba a (7.1) y es suficiente para justificar todos
los razonamientos sobre cálculo de áreas. Con él como única base podemos
justificar la existencia y el cálculo de áreas de una amplia familia de figuras.
Sin embargo no nos capacita para definir el área de cualquier subconjunto de
R 2 . Existen problemas técnicos para ello en los que no vamos a entrar, pero lo
cierto es que sólo podremos definir una función área µ : M −→ [0, +∞] sobre
una cierta familia M, que contendrá a todos los círculos, triángulos, etc., pero
que no será todo el conjunto de partes de R 2 .
Conviene introducir una nueva estructura matemática que recoja estas ideas
y nos permita extenderlas a otras situaciones análogas (el volumen en R 3 ,el
área en una superficie, etc.)
7.1 Medidas positivas
Definición 7.1 Sea X un conjunto. Un álgebra de subconjuntos de X es una
familia A de subconjuntos de X tal que:
a) ∅,X ∈ A.
b) Si A ∈ A, entonces X \ A ∈ A.
c) Si A, B ∈ A, entonces A ∪ B,A ∩ B ∈ A.
Observar que la propiedad b) hace que la propiedad c) para uniones implique
la parte para intersecciones y viceversa. Si dicha propiedad se cumple para
familias numerables entonces se dice que A es una σ-álgebra.
Una medida positiva (o simplemente una medida) en una σ-álgebra A de subconjuntos
de X es una aplicación µ : A −→ [0, +∞] que cumpla las propiedades
siguientes:
a) µ(∅) =0.
b) Si {An} ∞ n=0 es una familia de conjuntos de A disjuntos dos a dos, entonces
∞
∞
µ = µ(An).
n=0
An
Los conjuntos de A se llaman subconjuntos medibles de X. Un espacio
medida es una terna (X, A,µ), donde A es una σ-álgebra de subconjuntos de X
y µ es una medida en A. Enlapráctica escribiremos X en lugar de (X, A,µ).
La medida µ es unitaria si µ(X) =1,esfinita si 0 0 y existen conjuntos medibles {An} ∞ n=0 de medida finita
tales que
∞
X = An.
n=0
n=0