Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

22 Capítulo 1. Topología
e) → f). En efecto:
f −1 [int B] = f −1 Y \ (Y \ int B) = X \ f −1 [Y \ int B]
= X \ f −1 [Y \ B] ⊂ X \ f −1 [Y \ B] =X \ X \ f −1 [B]
= X \ (X \ int f −1 [B]) = int f −1 [B].
f) → b). Si B es abierto en Y , entonces
f −1 [B] =f −1 [int B] ⊂ int f −1 [B] ⊂ f −1 [B],
luego f −1 [B] = int f −1 [B] que es, por lo tanto, abierto.
Ahora vamos a probar una serie de resultados generales que nos permitirán
reconocer en muchos casos la continuidad de una aplicación de forma inmediata.
De la propia definición de continuidad se sigue inmediatamente:
Teorema 1.47 Si f : X −→ Y es continua en un punto x y g : Y −→ Z es
continua en f(x), entonces f ◦g es continua en x. En particular, la composición
de aplicaciones continuas es una aplicación continua.
Otro hecho básico es que la continuidad depende sólo de la topología en la
imagen y no de la del espacio de llegada.
Teorema 1.48 Sea f : X −→ Y una aplicación entre espacios topológicos.
Entonces f es continua en un punto x ∈ X como aplicación f : X −→ Y si y
sólo si lo es como aplicación f : X −→ f[X].
Demostración: Un entorno de f(x) enf[X] esU ∩ f[X], donde U es un
entorno de f(x) enY , pero f −1 [U ∩ A] =f −1 [U], luego es indistinto considerar
entornos en f[X] oenY .
Teniendo en cuenta que la aplicación identidad en un conjunto es obviamente
continua, de los teoremas anteriores se deduce inmediatamente el que sigue:
Teorema 1.49 Si X es un espacio topológico y A ⊂ X, entonces la inclusión
i : A −→ X dada por i(x) =x es continua. Por tanto, si f : X −→ Y es
continua en un punto x ∈ A, la restricción f|A = i ◦ f es continua en x.
En particular la restricción de una aplicación continua a un subconjunto es
también continua. El recíproco no es cierto, pero se cumple lo siguiente:
Teorema 1.50 Dada una aplicación f : X −→ Y ,siA es un entorno de un
punto x ∈ X y f|A es continua en x, entonces f es continua en x.
Demostración: Si U es un entorno de f(x) enY , entonces (f|A) −1 [U] =
f −1 [U] ∩ A es un entorno de x en A, luego existe un entorno G de x en X de
manera que x ∈ G ∩ A = f −1 [U] ∩ A, luego en particular x ∈ G ∩ A ⊂ f −1 [U],
y G ∩ A es un entorno de x en X, luego f −1 [U] también lo es.