Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

390 Capítulo 10. El teorema de Stokes
Teorema 10.23 Sea S ⊂ R m una variedad de dimensión n sin frontera. Sea
ω una n − 1-forma de clase C 1 en un abierto de R m que contenga a S y tal que
la intersección con S del soporte de ω sea compacta. Supongamos:
a) Si E es la intersección del conjunto de puntos frontera singulares de S con
el soporte de ω, entonces E es despreciable para S.
b) Las formas dω en S y ω en ∂S son integrables.
Entonces
S
dω =
Demostración: Sean W , {Wk} ∞ k=1 y {gk} ∞ k=1
según la definición de conjunto
despreciable. Notar que las funciones gk se pueden considerar definidas
en Rm . Entonces gkω es nula en un entorno de E, de donde se sigue fácilmente
que el soporte de su restricción a S ∪ ∂S es compacto. Aplicando el teorema de
Stokes a esta variedad con frontera obtenemos (10.6). Ahora notamos que
ω − gkω
=
(1 − gk)ω
≤
d|µω| = |µω|(Wk ∩ ∂S),
∂S
∂S
∂S
∂S
ω.
Wk∩∂S
donde µω es la medida definida por la integral de ω. Puesto que la intersección
de los conjuntos Wk ∩ ∂S es vacía y las medidas son finitas, el teorema 7.2 nos
da que
lím
k
gkω =
∂S
ω.
∂S
(Podemos suponer que los conjuntos Wk son decrecientes.) Igualmente se llega
a que
lím
k
gk dω = dω.
Finalmente:
S
S
dgk ∧ ω
≤
S∩W
S
d|µk| = |µk|(W ∩ S),
y por la definición de conjunto despreciable el último término tiende a 0. Tomando
límites en (10.6) obtenemos la fórmula del enunciado.
Evidentemente, este teorema es de escaso valor sin una caracterización aceptable
de los conjuntos despreciables. Es claro que todo subconjunto cerrado de
un conjunto despreciable para una variedad S es también despreciable.
Teorema 10.24 Sean E y F dos subconjuntos compactos despreciables para
una variedad S ⊂ R n sin frontera. Entonces E ∪ F también es despreciable.
Demostración: Sean W , {Wk} ∞ k=1 , {gk} ∞ k=1
junto despreciable (para E) y sean W ′ , {W ′ k }∞ k=1 , {g′ k }∞ k=1
Basta tomar
W ′′ = W ∪ W ′ , W ′′
k = Wk ∪ W ′ k, g ′′
k = gkg ′ k.
según la definición de con-
los análogos para F .