Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.6. El teorema de Stokes con singularidades 391
Es claro que estos conjuntos y funciones prueban que E ∪ F es despreciable.
Para la última condición observamos que
d(gkg ′ k) ∧ ω = g ′ k dgk ∧ ω + gk dg ′ k ∧ ω.
Enunciamos el teorema siguiente en el caso en que la variedad S es un abierto
en R n porque es el de mayor interés en la práctica, pero afinando un poco el
argumento se generaliza a abiertos en variedades arbitrarias.
Teorema 10.25 Sea S un abierto en R n y E un subconjunto compacto de R n
tal que 3 existe un cubo cerrado Q de dimensión m ≤ n − 2 y una aplicación
h : U −→ R n de clase C 1 , donde U es un entorno de Q y h[Q] =E. Entonces
E es despreciable para S.
Demostración: En primer lugar observamos que podemos suponer que
m = n − 2, pues en caso contrario la aplicación f se puede componer con la
proyección desde un cubo de dimensión superior. Así mismo, componiendo con
una aplicación lineal podemos suponer que Q =[0, 1] n−2
Un sistema fundamental de entornos de E lo forman los conjuntos
Wk = {x ∈ R n | d(x, E) < 2/k}, k =1, 2,...
Consideramos concretamente la distancia inducida por ∞ en Rn . Tomemos
una función φ : Rn −→ [0, 1] de clase C∞ que se anule sobre los puntos con
x∞ ≤ 1/2 y valga 1 sobre los puntos con x∞ ≥ 1. Para cada natural k>0
sea φk(x) =φ(kx). Si C es una cota de las derivadas parciales de φ en Rn ,es
claro que para todo x ∈ Rn se cumple Diφk(x)∞ ≤ kC. Observar que la cota
C sólo depende de n.
Sea I = {l ∈ Zn | d(l/2k, E) ≤ 1/k}. Claramente se trata de un conjunto
finito. Definimos
gk(x) =
φk x − l
.
2k
l∈I
La función gk es de clase C ∞ . Veamos que se anula en un entorno de E,
concretamente en el de los puntos x ∈ R n tales que d(x, E) < 1/4k. Dado
uno de estos puntos x, existe l ∈ Z n tal que d(x, l/2k) ≤ 1/2k (la coordenada
li es la parte entera de 2kxi). Claramente d(l/2k, E) < 1/k, luego l ∈ I y
φk(x − l/2k) = 0, y en consecuencia gk(x) = 0, como queríamos probar.
Veamos ahora que gk vale 1 fuera de Wk. En efecto, si d(x, E) ≥ 2/k y l ∈ I,
es decir, d(l/2k, E) ≤ 1/k, entonces d(x, l/2k) > 1/k, luego φk(x − l/2k) =1y
así gk(x) =1.
El motivo de toda esta construcción es garantizar que las funciones gk cumplen
una condición adicional, y es que sus derivadas parciales están acotadas
por C1k, donde C1 es una constante que sólo depende de n. En efecto, tomemos
3 En el caso n = 2 el teorema se cumple si E consta de un solo punto. Algunos razonamientos
han de ser sustituidos por otros más simples.