Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.3. El álgebra de Grassmann 343
En tal caso, las diferenciales dyi junto con las 0-formas generan toda el
álgebra de Grassmann, luego basta probar que f ♯ (dyi) yf ♯ (g) con g ∈ Λ 0 (T )
son diferenciables. Esto es evidente: por la propia definición f ♯ (dyi) =d(f ◦ yi)
y f ♯ (g) =f ◦ g.
Una simple comprobación nos da que (f ◦ g) ♯ = g ♯ ◦ f ♯ . Si I es la identidad
en una variedad S, entonces I ♯ es la identidad en Λ(S), luego si f es un
difeomorfismo también lo es f ♯ y(f ♯ ) −1 =(f −1 ) ♯ .
La aplicación f ♯ recibe el nombre de retracción asociada a f.
Cuando se emplea la notación adecuada, las retracciones resultan “invisibles”
en la práctica. Por ejemplo, la retracción de la inclusión i : S −→ T entre dos
variedades es i♯ (ω)(p) =ω(p)| Tp(S) k, donde ω ∈ Λk (T ). En muchas ocasiones
hemos usado la notación dxi para deferirnos tanto a la diferencial en Rn de la
proyección xi en la i-ésima componente como para referirnos a la diferencial
de la restricción de xi a una variedad S. Ahora vemos que dicha restricción es
i♯ (xi) y que la diferencial de la restricción es i♯ (dxi).
Otro ejemplo nos lo proporciona la fórmula (9.4), que hemos usado para
calcular integrales en variedades. En términos de retracciones se escribe como
ω = X ♯ (ω),
B
X −1 [B]
donde X es un carta de una variedad y B es un conjunto de Borel en su rango.
En efecto, notemos que las xi del segundo miembro de (9.4) son en realidad
X ◦ xi (si entendemos que las xi son, como en el primer miembro, las coordenadas
de X en la variedad), luego dxi(u)(v) es en realidad dxi(X(u))(dX(v)), es
decir, las diferenciales dxi que aparecen en el segundo miembro son en realidad
X ♯ (dxi), si entendemos dxi como en el primer miembro.
Con rigor deberíamos escribir X ♯ (i ♯ (ω)), donde i es la inclusión del rango de
X en la variedad. Usando particiones de la unidad podemos probar un resultado
más general, pero primero necesitamos justificar que las particiones se pueden
tomar de clase C ∞ . Ello se debe al teorema siguiente, que es la versión del
Lema de Urysohn para funciones de clase C ∞ . Recordemos que la notación
K ≺ f ≺ V en un espacio S significa que f : S −→ [0, 1] es una aplicación
continua que vale 1 en K y se anula fuera de V . En lo sucesivo S será una
variedad y K ≺ f ≺ V supondrá también que f es de clase C ∞ .
Teorema 9.21 Sea S una variedad diferenciable, sea K un subconjunto compacto
de S yseaV un abierto de modo que K ⊂ V . Entonces existe f ∈ Λ 0 (S)
tal que K ≺ f ≺ V .
Demostración: Probamos primero que dados números reales 0 ≤ a