Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

280 Capítulo 7. Teoría de la medida
d) Todo abierto no vacío de R n es una unión numerable de cubos disjuntos
de C.
Demostración: La única propiedad que no es obvia es la última. Si V
es un abierto, es claro que cada x ∈ V está enuncubodeC contenido en V .
De entre todos los cubos de C contenidos en V tomamos todos los que están
en C1, añadimos los de C2 que no están contenidos en ninguno de los de C1,
añadimos los de C3 que no están contenidos en ninguno de los anteriores y así
sucesivamente. El resultado es una familia numerable de cubos disjuntos de C
cuya unión es V .
Si f : Rn −→ R es una función con soporte compacto (no necesariamente
continua) definimos
−nk
Tk(f) =2 f(x).
x∈Pk
Claramente la suma tiene todos los sumandos nulos salvo un número finito
de ellos. Si f ∈ Cc(R n ) tomamos una celda W que contenga a todos los cubos de
C que cortan a su soporte. Como f es uniformemente continua (por 2.36), dado
ɛ>0 existe un natural N tal que si x−x ′ ∞ < 2 −N entonces |f(x)−f(x ′ )| N, la propiedad c) del teorema anterior implica
que
TN(g) =Tk(g) ≤ Tk(f) ≤ Tk(h) =TN (h),
luego los límites superior e inferior de la sucesión {Tk(f)} ∞ k=1 difieren a lo sumo
en TN (h − g) ≤ ɛVol (W ). Esto implica que existe
T (f) =lím k Tk(f).
La aplicación T : Cc(R n ) −→ R así definida es obviamente lineal (se trata
de la integral de Riemann) y también es claro que se encuentra en las hipótesis
del teorema de Riesz.
Teorema 7.33 Existe una única medida de Borel m en R n tal que a cada celda
le hace corresponder su volumen.
Demostración: Tomamos como m la medida que proporciona el teorema
de Riesz a partir del operador T que acabamos de construir. Consideremos una
celda abierta W , es decir, un producto de intervalos abiertos. Sea Ek la unión
de todos los cubos de Ck cuyas clausuras están contenidas en W .
Éstos son un
número finito y su unión Ek es una celda cuya clausura E está contenida en W .
Tomemos Ek ≺ fk ≺ W y sea gk =máx{f1,...,fk}. Es claro entonces que
Vol (Ek) ≤ T (fk) ≤ T (gk) ≤ Vol (W ).