Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

312 Capítulo 8. Teoría de la medida II
Demostración: Sea
1
Tr(f)(x) =
|f − f(x)| dm
m(Br(x)) Br(x)
y sea
T (f)(x) =lím Tr(f)(x).
r→0
Tenemos que probar que Tf = 0 p.c.t.p. Fijemos un número real y>0yun
número natural k. Por el teorema 8.19 existe una función g ∈ Cc(Rn ) tal que
f − g−1 < 1/k. Sea h = f − g. La continuidad de g implica que T (g) =0.
Como
1
Tr(h)(x) ≤
|h| dm + |h(x)|,
m(Br(x)) Br(x)
tenemos que T (h) ≤ Mh+ |h|. Por otra parte, dado que Tr(f) ≤ Tr(g)+Tr(h),
vemos que T (f) ≤ Mh+ |h|. Asípues, {x ∈ R n | T (f)(x) > 2y} ⊂{x ∈ R n | M(h)(x) >y}∪{x ∈ R n ||h|(x) >y}
Llamemos E(y, k) al miembro derecho de la inclusión anterior. Por 8.4 tenemos
que la medida del primero de los conjuntos de la unión es menor o igual
que 3n /(yk). Respecto al segundo, llamémoslo A, observamos que
ym(A) ≤
A
|h| dm ≤
R n
|h| dm = h1 < 1
k ,
luego en total, m E(y, k) ≤ (3n +1)/(yk).
El conjunto {x ∈ Rn | T (f)(x) > 2y} es independiente de k y está contenido
en la intersección de los conjuntos E(y, k) para todo k, que es nula. Por la
completitud de la medida de Lebesgue concluimos que es medible Lebesgue y
tiene medida nula. Como esto vale para todo y>0 concluimos que Tf =0
p.c.t.p.
Con esto llegamos al teorema principal de esta sección:
Teorema 8.38 Sea µ una medida signada de Borel en Rn tal que µ ≪ m y
sea f la derivada de Radon-Nikod´ym de µ respecto a m. Entonces dµ/dm = f
p.c.t.p. y para todo conjunto de Borel E ⊂ Rn se cumple
dµ
µ(E) =
E dm dm.
Demostración: El teorema de Radon-Nikod´ym afirma que se verifica la
igualdad del enunciado con f en lugar de dµ/dm. Para cada punto de Lebesgue
x de f se cumple
1
µ(Br(x)) dµ
f(x) =lím
fdm=lím =
r→0 m(Br(x)) Br(x)
r→0 m(Br(x)) dm (x).