Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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110 Capítulo 3. Cálculo diferencial de una variable Esto se traduce en que f(a + h) >f(a) sih>0yf(a + h)
3.3. Propiedades de las funciones derivables 111 Demostración: Consideremos la función dada por h(x) =f(x) g(b) − g(a) − g(x) f(b) − f(a) . Se cumple que h(a) =h(b) =f(a)g(b) − g(a)f(b). Además h es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Por el teorema de Rolle existe un punto c ∈ ]a, b[ tal que h ′ (c) = 0, pero h ′ (x) =f ′ (x) g(b) − g(a) − g ′ (x) f(b) − f(a) , luego f ′ (c) g(b) − g(a) − g ′ (c) f(b) − f(a) =0 Más adelante tendremos ocasión de usar este resultado en toda su generalidad, pero de momento nos basta con el caso particular que resulta de tomar como función g la dada por g(x) =x. Entonces tenemos: Teorema 3.13 (Teorema del valor medio) Sea f :[a, b] −→ R una función continua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces existe un c ∈ ]a, b[ tal que f(b) − f(a) =f ′ (c)(b − a). Notar que el teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio. Este teorema tiene una interpretación geométrica. La expresión f(b) − f(a) b − a puede interpretarse como la “pendiente media” de f en [a, b], es decir, es el cociente de lo que aumenta f cuando la variable x pasa de a a b dividido entre lo que ha aumentado la variable. Lo que dice el teorema del valor medio es que hay un punto en el intervalo donde la función toma el valor medio de su pendiente. La importancia de este teorema es que nos relaciona una magnitud global, la pendiente media, con una magnitud local, la derivada en un punto. Las consecuencias son muchas. Una aplicación típica es el siguiente refinamiento del teorema 3.11: Teorema 3.14 Si f :[a, b] −→ R es continua en [a, b], derivable en ]a, b[ ysu derivada es positiva (negativa) en ]a, b[, entonces f es estrictamente creciente (decreciente) en [a, b]. Demostración: El teorema 3.11 nos da que f es estrictamente monótona en ]a, b[. Sólo falta probar que es creciente o decreciente en a yenb. Si x ∈ ]a, b[, entonces f(x)−f(a) =f ′ (c)(x−a), para cierto punto c ∈ ]a, x[. Por lo tanto, si f ′ es positiva, f(x) − f(a) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, e igualmente se prueba que f(b) − f(x) > 0 para todo x ∈ ]a, b[, luego f es creciente en [a, b].
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1.8. Sucesiones y series numéricas
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Capítulo V Introducción a las var
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Capítulo XII Funciones Harmónicas
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Bibliografía [1] Borden, R.S. A co
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